• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1617

Variace na invarianci, LS 16/17

K9, Karlín, každý pátek 12:20 - 13:50

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům prvního a druhého ročníku všech oborů, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program

24.2.,3.3. a 10.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Přehled přednášky a úkoly

17., 24. a 31.3.: Roman Lávička: Kvaterniony

V 1. přednášce připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině násobení vektorů vede ke komplexním číslům. Ukážeme si, že v prostoru se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům.

Ve 2. přednášce si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i Moebiovy transformace pomocí kvaternionů.

V poslední přednášce nás budou zajímat různá zobecnění celých čísel v komplexním oboru a kvaternionech, např. Gaussova a Hurwitzova čísla. Zvláště budeme studovat jejich prvočíselné rozklady.

7., 21. a 28.4.: Tomáš Salač: Aplikace reprezentací grup ve fyzice

Uvažujme newtonovský model molekuly. Množina všech vychýlení atomů v molekule z klidového stavu tvoří přirozeným způsobem vektorový prostor V. Kmitání atomů při malém vychýlení z klidového stavu je určeno linerárním zobrazením F na V. Předpokládejme, že G je grupa symetrií molekuly. Pak G přirozeným způsobem operuje na V a toto působení komutuje s F. Říkáme, že V je reprezentace grupy G a že F je G-ekvivariatní zobrazení. Toto dává omezení na vlastní čísla operátoru F a tím i na frekvence, ve kterých atomy kmitají. Na přednášce se seznámíme se základy reprezentací konečných grup a uvedeme si některé fyzikální aplikace.

5., 12., 19.5.: Dalibor Šmíd: Téma bude oznámeno

Zápočet

Odevzdejte vyřešené domácí úlohy za alespoň 5 bodů celkem od každého z alespoň 3 různých přednášejících. Můžete je poslat mailem nebo předat některému přednášejícímu. Úlohy se odevzdávají vždy na následující přednášce, pro úkoly z poslední přednášky dané série to znamená, že je dáte následujícímu přednášejícímu na jeho první přednášce. Počty bodů si můžete zkontrolovat v tabulce.