• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1718

Variace na invarianci, LS 17/18

Seminární místnost Katedry algebry, Karlín, každý čtvrtek 12:20 - 13:50

Seminář, který sestává z pěti velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program

22.2., 1.3. a 8.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Text a úkoly

15. a 22.3.: Dalibor Šmíd: S kruhovou inverzí od geometrie přes teorii čísel až k Einsteinovi

Kruhová inverze je zobrazení roviny, které převádí vnitřek zvolené kružnice na její vnějšek. Ukážeme si její souvislost s mnoha tématy vyskytujícími se ve zbývajících minisériích i jinde v matematice a ve fyzice. Od neeuklidovské geometrie přes řešení diofantických rovnic, fraktály, Stern-Brocotův strom racionálních čísel až po Lorentzovu grupu, která "řídí" speciální teorii relativity.

29.3., 5.4. a 12.4.: Roman Lávička: Kvaterniony

V 1. přednášce připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině násobení vektorů vede ke komplexním číslům. Ukážeme si, že v prostoru se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům.

Ve 2. přednášce si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i Moebiovy transformace pomocí kvaternionů.

V poslední přednášce nás budou zajímat různá zobecnění celých čísel v komplexním oboru a kvaternionech, např. Gaussova a Hurwitzova čísla. Zvláště budeme studovat jejich prvočíselné rozklady.

19.4., 26.4. a 3.5.: Filip Beran a Marek Goldstein: Symetrie a jejich grupy

Jak můžeme pomocí matematiky hlouběji porozumět symetriím kolem nás? Ze středoškolských učebnic jsme zvyklí na osovou a středovou souměrnost, ale snadno si všimneme daleko bohatších vzorů, kde si jen s těmito základními nástroji nevystačíme. Proč mluvit o grupě symetrií a ne jen o množině symetrií? Je symetričtější čtverec nebo čtyřstěn? Proč je takzvaných „wallpaper groups“ právě sedmnáct? A lze nějak popsat symetrie samotných grup…?

Při zkoumání (nejen) těchto otázek nás povedou tři základní témata: 1. Symetrie těles, 2. Symetrie dláždění a 3. Grupy a jejich symetrie. Přitom společně odvodíme grupy symetrií pravidelných mnohostěnů, provedeme klasifikaci rovinných dláždění (tzv. teselací) a nakonec se snad podíváme i na symetrie abstraktnějších objektů. Na tom všem chceme ilustrovat více i méně známé koncepty z teorie grup (generátory, součiny, prezentace apod.).

Text k přednášce s doporučenou literaturou

10., 17. a 24.5.: Lada Peksová: Teorie uzlů

Přestože se různé uzly a smyčky objevují okolo nás již tisíce let, neexistoval až do 80. let 20. století jednoduchý nástroj jak je zkoumat. Jak například jednoduše poznat, zda lze daný uzel rozuzlovat nebo přemotat na jiný? Je obrázek jediný způsob, jak uzel zaznamenat? A jak vůbec něco takového matematicky zapsat? Až s tzv. Jonesovým polynomem se teorie uzlů začala naplno rozvíjet a bylo možné ji později propojit s kvantovou teorií pole či statistickou mechanikou.

Ukážeme si několik různých invariantů uzlů. Začneme geometrickými invarianty, které lze snadno definovat, ale těžko obecně spočítat. Vlastnost tříobarvitelnosti zobecníme do pojmu quandl a na konstrukci Jonesova polynomu (pomocí Kauffmannovy závorky) a HOMFLY polynomu, navážeme pojmy využívanými ve statistické fyzice, například Yang-Baterovou rovnicí.

Úkoly a literatura

Zápočet

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 5 bodů v každé z alespoň 3 minisérií.

Tabulka s body