• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1819

Variace na invarianci, LS 18/19

K9, Karlín, každou středu 10:40 - 12:10

Seminář, který sestává ze čtyř velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Tabulka bodů

Program

20.2., 27.2. a 6.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Text k minisérii

13, 20. a 27.3.: Roman Lávička: Kvaterniony

V 1. přednášce připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině násobení vektorů vede ke komplexním číslům. Ukážeme si, že v prostoru se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům.

Ve 2. přednášce si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i Moebiovy transformace pomocí kvaternionů.

V poslední přednášce nás budou zajímat různá zobecnění celých čísel v komplexním oboru a kvaternionech, např. Gaussova a Hurwitzova čísla. Zvláště budeme studovat jejich prvočíselné rozklady.

10., 17. a 24.4.: Filip Beran: Symetrie a jejich grupy

Jak můžeme díky matematice lépe porozumět symetriím kolem nás? Ze středoškolských učebnic známe osovou a středovou souměrnost, ale snadno si všimneme daleko bohatších vzorů, kde si jen s těmito pojmy nevystačíme. Proč mluvíme o grupě symetrií a ne jen o množině symetrií? Je symetričtější čtverec nebo čtyřstěn? Co krychle? Lze to vůbec měřit? A jak zachytit symetrie samotných grup...?

Nejen těmito otázkami nás provede zkoumání symetrií pravidelných mnohoúhelníků a mnohostěnů. Představíme si různorodé reprezentace a prezentace jejich grup a zároveň si na nich znázorníme základní i pokročilejší strukturální koncepty: např. řád prvku, generátor, komutátor, normální a ty ostatní podgrupy, centrum nebo přímý a polopřímý součin... A o věncovém součinu už jste někdy slyšeli?

3.4, 15.5 a 22.5.: Lada Peksová: Teorie uzlů

Různé smyčky a uzly se okolo nás objevují již tisíce let. Přesto se matematici dostali k jejich zkoumání a klasifikaci až na konci 18. století. A až do 20. století neexistovaly jednoduché nástroje jak je zkoumat. Jak například jednoduše poznat, zda lze daný uzel rozuzlovat nebo přemotat na jiný? A je obrázek jediný způsob, jak uzel zaznamenat?

Ukážeme si několik různých invariantů uzlů. Začneme geometrickými invarianty, které lze snadno definovat, ale těžko obecně spočítat. Vlastnost tříobarvitelnosti zobecníme do pojmu quandl. Ukážeme si Jonesův polynom, který se dá jednoduše definovat, ale je obtížné ho spočítat v obecném případě kvůli jeho "rekurenčnímu" chování. Na závěr si můžeme ukázat po zavedení Jacobiho a tětivových diagramů spojitost uzlů s Kontsevichovým invariantem, který se využívá v teoretické fyzice.

Úlohy k sérii

Zápočet

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 4 body v každé z alespoň 3 minisérií.