• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS2021

Variace na invarianci, LS 20/21

Úterý 10:40 - 12:10

Seminář, který sestává ze čtyř velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Odkaz na Zoom budou posílat jednotliví přednášející mailem přes SIS.

Tabulka s body

Program

2., 9., 16. a 23.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Video z přednášky 1, Tabule z přednášky 1, Video z přednášky 2, Tabule z přednášky 2, Video z přednášky 3, Tabule z přednášky 3, Video z přednášky 4, Tabule z přednášky 4, Text k přednáškám

30.3., 6.4. a 13.4.: Tomáš Salač: Vibrace molekul a teorie reprezentací konečných grup

Na přednášce se budeme zabývat matematickými aspekty (reprezentace konečných grup a základy vektorových bandlů) teorie malých kmitů nekvantového modelu molekuly. Ukážeme si, jak grupa symetrií molekuly působí na vektorovém prostoru malých vychýlení z rovnovážného stavu a jaké jsou fyzikální důsledky tohoto působení. U posluchačů jsou předpokládány jen základní znalosti z lineární algebry.

Video z přednášky 1, Tabule z přednášky 1, Video z přednášky 2, Tabule z přednášky 2, Video z přednášky 3, Tabule z přednášky 3

20.4., 27.4. a 4.5.: Roman Golovko: Introduction to Knot Theory

One can imagine a knot as a continuous loop made of very thin elastic rubber in the three-dimensional space. Given two knots, one wants to know whether one of them can be deformed into the other. In order to answer this question, we will study several knot invariants and will see how they allow to distinguish knots. Knot theory has many relations to topology, physics, and even the study of the structure of DNA. Some of these connections will be described in the second part of the course.

Lecture 1 video, Lecture 1 problems, Lecture 1 whiteboards, Lecture 2 video, Lecture 2 problems, Lecture 2 whiteboards, Lecture 3 video, Lecture 3 problems, Lecture 3 whiteboards

11., 18. a 25.5.: Réamonn O´Buachalla: Hopf Algebras and Quantum Symmetries

The miniseries focuses on the theory of Hopf algebras, a far-reaching algebraic generalisation of group theory. In addition to presenting the basic definitions and results of Hopf algebra theory, a large number of examples will be presented, ranging from finite groups to recent examples arising in quantum physics.

Lecture 1 slides, Lecture 1 video (lect2+3 in channel), Lecture 1 homework, Lecture 2 slides, Lecture 3 slides, Second Homework

Zápočet

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 4 body v každé z alespoň 3 minisérií.