• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS2122

Variace na invarianci, LS 21/22

Čtvrtek 17:20 - 18:50, posluchárna N3

Seminář, který sestává ze čtyř velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Tabulka s body

Program

17.2., 24.2., 3.3. a 10.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Text k první přednášce

17.3., 24.3. a 31.3.: Roman Lávička: Roztočme to s kvaterniony

Nejprve si připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině umíme násobit vektory jako komplexní čísla. Ukážeme si, že v prostoru dimenze 3 se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům. Dále si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i všechny konformní transformace pomocí kvaternionů.

7., 21. a 28.4.: Dalibor Šmíd: S kruhovou inverzí od geometrie přes teorii čísel až k relativitě

Kruhová inverze je zobrazení roviny, které převádí vnitřek zvolené kružnice na její vnějšek. Ukážeme si její souvislost s mnoha tématy vyskytujícími se ve zbývajících minisériích i jinde v matematice a ve fyzice. Od neeuklidovské geometrie přes řešení diofantických rovnic, fraktály, Stern-Brocotův strom racionálních čísel až po Lorentzovu grupu, která "řídí" speciální teorii relativity.

Domácí úlohy

5., 12. a 12.5.: Roman Golovko: Introduction to Knot Theory

One can imagine a knot as a continuous loop made of very thin elastic rubber in the three-dimensional space. Given two knots, one wants to know whether one of them can be deformed into the other. In order to answer this question, we will study several knot invariants and will see how they allow to distinguish knots. Knot theory has many relations to topology, physics, and even the study of the structure of DNA. Some of these connections will be described in the second part of the course.

Materiály z LS 20/21: Lecture 1 video, Lecture 1 problems, Lecture 1 whiteboards, Lecture 2 video, Lecture 2 problems, Lecture 2 whiteboards, Lecture 3 video, Lecture 3 problems, Lecture 3 whiteboards

Zápočet

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 4 body v každé z alespoň 3 minisérií.