• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS2425

Variace na invarianci, LS 24/25

Úterý 10:40 - 12:10, posluchárna N2

Seminář, který sestává ze čtyř velmi volně navazujících minisérií, tématicky propojených motivem invariance v matematice. Invarianty, tedy vlastnosti, které se nemění při určitých transformacích, jsou klíčem k pochopení a klasifikaci nejrůznějších matematických objektů: rovinných dláždění, uzlů, geometrií, frekvencí, na nichž mohou kmitat molekuly, číselných množin a mnoha dalších. Seminář je určen především studentům 1. a 2. ročníku všech oborů a nevyžaduje žádné předběžné znalosti nad rámec prvního semestru. Každá minisérie vám umožní seznámit se aktivním způsobem se základy některého matematického oboru, přesahujícího rámec základních kurzů v prvním dvouletí.

Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program

28.2., 25.2. a 4.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Text k přednášce

11., 18., 25.3. a 1.4.: Maroš Grego: Fundamentálna grupa

Topológia skúma vlastnosti geometrických objektov, ktoré sú zachovávané spojitými zobrazeniami. Množina všetkých kriviek v topologickom priestore až na ekvivalenciu stotožňujúcu dve krivky, pokiaľ sa dá jedna spojito deformovať na druhú, má štruktúru grupy. Pomocou nej dokážeme viaceré netriviálne vety z topológie, ako Brouwerovu vetu o pevnom bode, ktorá hovorí, že si nikdy nemôžeme dokonalo pomiešať kávu.

Stránka k přednášce

8., 15. a 22.4.: Jan Kotrbatý: Invariantní valuace na konvexních tělesech

Valuace v konvexní geometrii jsou funkce, které konvexnímu tělesu přirozeným způsobem přiřadí nějakou jeho geometrickou charakteristiku. Základními příklady valuací v rovině jsou obsah či obvod, v prostoru pak objem či povrch. V této sérii se nejprve budeme věnovat konvexním tělesům a jejich základním vlastnostem. Dále zavedeme pojem valuace, ukážeme si různé příklady a rozebereme, jak vypadá prostor všech valuací. Nakonec se zaměříme na valuace, které jsou invariantní vůči prostorovým rotacím. Ukážeme, že takové valuace lze dobře klasifikovat, a zmíníme důležité aplikace takové klasifikace.

29.4., 6.5. a 20.5.: Roman Golovko: Introduction to Knot Theory

One can imagine a knot as a continuous loop made of very thin elastic rubber in the three-dimensional space. Given two knots, one wants to know whether one of them can be deformed into the other. In order to answer this question, we will study several knot invariants and will see how they allow to distinguish knots. Knot theory has many relations to topology, physics, and even the study of the structure of DNA. Some of these connections will be described in the second part of the course.

Zápočet

Bodovací tabulka

Součástí každé minisérie budou i problémy doplňující a rozšiřující výklad jednotlivých přednášejících. Za vyřešení problému, ať už v rámci semináře, nebo doma s odevzdáním na následující hodině, budou přednášející udělovat 1-3 body za problém v závislosti na jeho obtížnosti. K udělení zápočtu je třeba získat alespoň 4 body v každé z alespoň 3 minisérií.