Domácí úlohy z algebry, cvičení ve čtvrtek od 9:00
Vypracovaný domácí úkol odevzdejte prosím (nejpozději) na následujícím cvičení.
- (8.10.)
Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 50x + 135y + 18z = 7
a dokažte, že se jedná o všechna řešení.
(2 body)
- (22.10.)
Nechť (M1, . , 1) a (M2, . , 1)
jsou dva monoidy a f takové zobrazení M1
do M2, že f(a.b)=f(a).f(b) pro všechny
prvky a,b monoidu M1.
Dokažte, že f(1)=1, jestliže je f bijekce, a že
rovnost f(1)=1 pro nebijektivní f obecně neplatí.
(2 body)
- +
- (12.11.)
Spočítejte kolik prvků má grupa automorfismů Aut(Zn,+,-,0)
cyklické grupy řádu
n. Rozhodněte, zda platí tvrzení:
jestliže |Aut(Zn,+,-,0)|=|Aut(Zm,+,-,0)|,
pak je Aut(Zn,+,-,0) izomorfní
Aut(Zm,+,-,0). Svá tvrzení dokažte.
(4 body)
--------------------
- (26.11.) Buď n přirozené číslo.
Popište (pomocí Jordanovy věty a pojmu konjugovanost) všechny prvky
GL(2,C), které jsou řádu n (jako prvky grupy)
a své tvrzení dokažte.
(2 body)
- (3.12.) Mějme (A,+,-,0) komutativní grupu a
a V vektorový prostor nad tělesem T.
Dokažte, že (End(A),+,-,0, . , Id )
a (End(V),+,-,0, . , Id ),
kde . značí skládání zobrazení,
jsou okruhy (definice viz 5.1 a 5.2 textu ke cvičení).
(2 body)
- (10.12.) Buď n přirozené číslo a T těleso.
Dokažte, že je každý pravý ideál maticového kruhu
(Mn(T),+,-,0, . , E )
hlavní.
(2 body)
- (17.12.) Buď n přirozené číslo a X množina o n prvcích.
Najděte prostý homomorfismsu okruhu P(X) všech podmnožin množiny X
(z okruhovou strukturou danou symetrickou
diferencí a průnikem, viz cvičení) do maticového okruhu
(Mn(Z2),+,-,0, . , E ).
(2 body)