I. Vyjádřete primitivní funkce pomocí elementárních funkcí na maximálních intervalech existence

1. ∫ x^{3} + 2x + \frac{17}{x} dx 2. ∫ 18e^{x} + 16e^{8x} − \frac{1}{x} + 3 cosx dx 3. ∫ \sqrt[3]{1 − 3x}dx 4. ∫ \frac{(1−x)^{3}}{x \sqrt[3]{x}} dx

5. ∫ \frac{x^{2}}{(1−x)^{100}} dx 6. ∫ sin^{7} x cosx dx 7. ∫ xe^{−x^{2}} dx 8. ∫ tgx dx 9. ∫ cotgx dx

10. ∫ \sqrt{x^{6}} dx 11. ∫ | cosx| dx 12. ∫ arcsinsin \frac{4x}{x^{2} +1} dx 13. ∫ \frac{2^{x+1} −5^{x−1}}{10^{x}} dx 14. ∫ \frac{e^{3x} +1}{e^{x}+1} dx 15. ∫ tg^{2} x dx 16. ∫ cotg^{2} x dx 17. ∫ \frac{dx}{2+3x^{2}} 18. ∫ sin^{2} x dx 19. ∫ cos^{4} x dx 20. ∫ \frac{x^{2} dx}{cos^{2} (x^{3} )} 21. ∫ \frac{x}{1+4x^{2}} dx 22. ∫ \frac{x}{1+x^{4}} dx 23. ∫ \frac{dx}{x log x log log x} 24. ∫ \frac{dx}{sin x} 25. ∫ \frac{dx}{cos x} 26. ∫ xe^{x} dx 27. ∫ logx dx 28. ∫ arctgx dx 29. ∫ \frac{sin x}{e^{x}} dx 30. ∫ e^{ax} cosbx dx , a, b ∈ ℝ 31. ∫ x^{α} logx dx 32. ∫ x^{3} log^{2} x dx 33. ∫ e^{\sqrt{x}} dx 34. ∫ log(x + \sqrt{x^{2} + 1} ) dx

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. Výsledky jsou uvedeny ţaž na konstantu�. 1. \frac{1}{4}x^{4} + x^{2} + 16 log|x| na (−∞, 0) a na (0, ∞) 2. 18e^{x} + 2e^{8x} − log|x| + 3 sinx na (−∞, 0) a na (0, ∞) 3. −\frac{1}{4}(1 − 3x)^{\frac{4}{3}} , na ℝ 4. − \frac{3}{\sqrt[3]{x}} − \frac{9}{2} \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{9}{5}x^{\frac{5}{3}} − \frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}} na (−∞, 0) a na (0, ∞) 5. \frac{1}{99(1−x)^{99}} − \frac{1}{49(1−x)^{98}} + \frac{1}{97(1−x)^{97}} , na (−∞, 1) a na (1, ∞) 6. \frac{1}{8} sin^{8} x na ℝ 7. −\frac{1}{2}e^{−x^{2}} na ℝ 8. − log| cosx| na každém z intervalů (−\frac{π}{2} + kπ, \frac{π}{2} + kπ), k ∈ ℤ 9. log| sinx| na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k ∈ ℤ 10. \frac{1}{4}|x| · x^{3}, na ℝ 11. sin(x − π · [\frac{x}{π} + \frac{1}{2}] ) + 2 · [\frac{x}{π} + \frac{1}{2}] , na ℝ 12. F (x) =

\{ \begin{matrix}2 log(1 + x^{2}) + π(x_{2} − x_{1}) + 4 log \frac{x_{1}}{x_{2}} & x ∈ [−∞, −x_{2}] \\ −π(x + x_{1}) − 2 log(1 + x^{2}) + 4 log(\frac{8}{π} x_{1}) & x ∈ [−x_{2}, −x_{1}] \\ 2 log(1 + x^{2}) & x ∈ [−x_{1}, x_{1}] \\ π(x − x_{1}) − 2 log(1 + x^{2}) + 4 log(\frac{8}{π} x_{1}) & x ∈ [x_{1}, x_{2}] \\ 2 log(1 + x^{2}) + π(x_{2} − x_{1}) + 4 log \frac{x_{1}}{x_{2}} & x ∈ [x_{2}, ∞] \end{matrix} a \begin{matrix}x_{1} = \frac{4−\sqrt{16−π^{2}}}{π} \\ x_{2} = \frac{4+\sqrt{16−π^{2}}}{π} \end{matrix} , na ℝ 13.

\frac{−10·5^{−x} log 2+2^{−x} log 5}{5 log 5 log 2} , na ℝ 14. \frac{1}{2}e^{2x} − e^{x} + x, na ℝ 15. tgx − x, na každém z intervalů (−\frac{π}{2} + kπ, \frac{π}{2} + kπ), k ∈ ℤ 16. − cotgx − x, na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k ∈ ℤ 17. \frac{1}{\sqrt{6}} arctg \frac{x\sqrt{6}}{2}, na ℝ 18. \frac{x}{2} − \frac{1}{4} sin2x, na ℝ 19. \frac{3}{8}x + \frac{3}{8} sinx cosx + \frac{1}{4} sinx cos^{3} x, na ℝ 20. \frac{1}{3} tg(x^{3}), na každém z intervalů (\sqrt[3]{−\frac{π}{2} + kπ} , \sqrt[3]{\frac{π}{2} + kπ} ), k ∈ ℤ 21. \frac{1}{8} log(1 + 4x^{2}), na ℝ 22. \frac{1}{2} arctg(x^{2}), na ℝ 23. log| loglogx|, na (1, e) a na (e, ∞) 24. log |tg \frac{x}{2} |, na každém z intervalů (kπ, (k + 1)π), k ∈ ℤ 25. − log |tg(\frac{π}{4} − \frac{x}{2})|, na každém z intervalů (−\frac{π}{2} + kπ, \frac{π}{2} + kπ), k ∈ ℤ 26. (x − 1)e^{x} na ℝ 27. x logx − x na (0, ∞) 28. x arctgx − \frac{1}{2} log(1 + x^{2}) na ℝ 29. −\frac{1}{2}e^{−x} · (sinx + cosx), na ℝ 30. \frac{e^{ax}}{a^{2} +b^{2}} · (a cosbx + b sinbx) na ℝ, pokud a^{2} + b^{2} ≠ 0; x na ℝ, pokud a = b = 0 31. \frac{x^{1+α}}{1+α} · (logx − \frac{1}{1+a} ), na (0, ∞) pro α ≠ 1; \frac{1}{2} ln^{2} x, na (0, ∞) pro α = −1 32. \frac{1}{4}x^{4} ln^{2} x − \frac{1}{8}x^{4} lnx + \frac{1}{32} x^{4}, na (0, ∞) 33. 2e^{\sqrt{x}} · (\sqrt{x} − 1), na (0, ∞) 34. x log(x + \sqrt{x^{2} + 1} ) − \sqrt{x^{2} + 1} , na ℝ

II. Spočtěte primitivní funkce

1. ∫ \frac{x^{17} −5}{x−1} dx 2. ∫ \frac{x^{17} −5}{x^{2} −1} dx 3. ∫ \frac{x^{3} +1}{x^{3} −5x^{2} +6x} dx 4. ∫ \frac{x}{x^{3} −1} dx 5. ∫ \frac{dx}{x^{4} +1}

6. ∫ \frac{dx}{(x^{2} +1)^{2}} pomocí x = tgy 7. ∫ \frac{x^{8} +x−1}{x^{6} +1} dx 8. ∫ \frac{dx}{(x^{2} +3x+4) ^{2}}

9. Pro jaký vztah mezi parametry a, b, c ∈ ℝ je primitivní funkce k funkci f racionální, je-li f(x) = \frac{ax^{2} +bx+c}{x^{3} (x−1)^{2}} ? 10. ∫ \frac{x dx}{\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{x+1}} 11. ∫ \sqrt{\frac{1−x}{1+x}} \frac{dx}{x} 12. ∫ \sqrt[3]{\frac{1−x}{1+x}} \frac{dx}{x} 13. ∫ \frac{dx}{(4+x^{2} ) \sqrt{4−x^{2}}} 14. ∫ \frac{1−\sqrt{x+1}}{1− \sqrt[3]{x+1}} dx 15. ∫ \frac{\sqrt{x+1} −\sqrt{x−1}}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x−1}} dx 16. ∫ \frac{exp x}{exp x+1} dx 17. ∫ \frac{e^{2x}}{1+e^{x}} dx 18. ∫ \frac{dx}{1+\sqrt{x^{2} +2x+2}}

19. ∫ \sqrt{x^{2} − 2x − 1}dx 20. ∫ \frac{(2x+3) dx}{(x^{2} +2x+3)\sqrt{x^{2} +2x+4}} 21. ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +1}} 22. ∫ \sqrt{x^{2} − 1}dx

23. ∫ \sqrt{1 − x^{2}} dx 24. ∫ \frac{sin x cos x}{1+sin^{4} x} dx 25. ∫ \frac{sin^{2} x}{sin x+2 cos x} 26. ∫ \frac{dx}{2 sin x−cos x+5}

27. ∫ \frac{dx}{(sin^{2} x+2 cos^{2} x) ^{2}} 28. ∫ \frac{dx}{(2+cos x) sin x} 29. ∫ \frac{sin^{2} x}{1+sin^{2} x} dx 30. ∫ \frac{sin x cos x}{sin x+cos x} dx

31. ∫ \frac{sin x}{sin^{3} x+cos^{3} x} dx 32. ∫ \frac{dx}{sin^{4} x+cos^{4} x} 33. ∫ \frac{dx}{1+ε cos x} , ε > 0 34. ∫ \frac{dx}{a^{2} sin^{2} x+b^{2} cos^{2} x} , a, b ∈ ℝ

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. (∑_{1}^{17} \frac{x^{k}}{k} ) − 4 log|x − 1|, x ∈ (−∞, 1) nebo x ∈ (1, +∞) 2. (∑_{1}^{8} \frac{1}{2k}x^{2k}) − 2 log|x − 1| + 3 log|x + 1|, x ∈ (−∞, −1) nebo x ∈ (−1, 1) nebo x ∈ (1, +∞)

3. x + \frac{1}{6} log|x| − \frac{9}{2} log|x − 2| + \frac{28}{3} log|x − 3|, x ∈ (−∞, 0) nebo x ∈ (0, 2) nebo x ∈ (2, 3) nebo x ∈ (3, +∞) 4. \frac{1}{6} log \frac{(x−1)^{2}}{x^{2} +x+1} + \frac{\sqrt{3}}{3} arctg \frac{2x+1}{\sqrt{3}} , x ∈ (−∞, 1) nebo x ∈ (1, +∞) 5. \frac{\sqrt{2}}{8} log \frac{x^{2} +x\sqrt{2}+1}{x^{2} −x\sqrt{2}+1} +\frac{\sqrt{2}}{4} arctg(x\sqrt{2}+1)+\frac{\sqrt{2}}{4} arctg(x\sqrt{2}−1) 6. \frac{x}{2(x^{2} +1)} +\frac{1}{2} arctgx 7. \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{6} log(1+ x^{2})+ \frac{\sqrt{3}−1}{2} log(x^{2}−x\sqrt{3}+1)− \frac{\sqrt{3}+1}{2} log(x^{2}+x\sqrt{3}+1)− \frac{3−\sqrt{3}}{6} arctg(2x−\sqrt{3})− \frac{3+\sqrt{3}}{6} arctg(2x+\sqrt{3})

8. \frac{1}{7} · \frac{2x+3}{x^{2} +3x+4} + \frac{4\sqrt{7}}{49} arctg \frac{2x+3}{\sqrt{7}} 9. a + 2b + 3c = 0 10. 6(\frac{1}{9}u^{(3/2)} − \frac{1}{8}u^{(4/3)} + \frac{1}{7}u^{(7/6)} − \frac{1}{6}u + \frac{1}{5}u^{(5/6)} − \frac{1}{4}u^{(2/3)} ), kde u = x + 1, x ∈ (−1, +∞) 11. log |\frac{\sqrt{1+x} −\sqrt{1−x}}{\sqrt{1+x} +\sqrt{1−x}} | + 2 arctg \sqrt{\frac{1−x}{1+x}}, x ∈ (−1, 1) 12. log \frac{|u^{2} −1|}{\sqrt{u^{4} +u^{2} +1}} − \sqrt{3}arctg \frac{2u+1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}arctg \frac{2u−1}{\sqrt{3}} , kde u = \sqrt[3]{\frac{1−x}{1+x}}, x ∈ (−∞, −1) nebo x ∈ (−1, 0) nebo x ∈ (1, +∞) 13. t = \sqrt{\frac{2−x}{2+x}} 14. t = \sqrt[6]{x + 1} 15. t = \sqrt{\frac{x−1}{x+1}} 16. log(e^{x} + 1) , x ∈ ℝ 17. e^{x} − log(1 + e^{x}) 18. \frac{2}{x−\sqrt{x^{2} +2x+2}} − log(\sqrt{x^{2} + 2x + 2} − x − 1), x ∈ ℝ 19. \frac{1}{2}(x − 1)\sqrt{x^{2} − 2x − 1}− log|x − 1 + \sqrt{x^{2} − 2x − 1}|, x ∈ (−∞, 1 − \sqrt{2}) nebo x ∈ (1 + \sqrt{2}, +∞)

20. log \frac{t^{2} −4t+6}{t^{2} +2} + \frac{1}{\sqrt{2}} arctg \frac{t}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{2}} arctg \frac{t−2}{\sqrt{2}}, kde t = \sqrt{x^{2} + 2x + 4} − x, x ∈ ℝ 21. argsinhx = log(x + \sqrt{x^{2} + 1} ) na ℝ 22. \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2} − 1} − \frac{1}{2} log|x + \sqrt{x^{2} − 1}| na (−∞, −1) a na (1, +∞) 23. \frac{x}{2} \sqrt{1 − x^{2}} + \frac{1}{2} arcsinx na (−1, 1) 24. \frac{1}{2} arctgsin^{2} x 25. a 26. substituce y = tg \frac{x}{2} 27. substituce y = tgx 28. substituce y = cosx 29. substituce y = tgx 30. substituce y = tg \frac{x}{2}

31. a 32. substituce y = tgx 33. substituce y = tg \frac{x}{2} 34. substituce y = tgx III. Vyšetřete bodovou, stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou

konvergenci posloupností

1. x^{n+1} − x^{n−1}, x ∈ ⟨0, 1⟩, 2. x^{n} − x^{3n}, x ∈ ⟨0, 1⟩ 3. \frac{1}{x+n} a) x ∈ (0, +∞), b) x ∈ R

4. \frac{nx}{1+n+x} , x ∈ ⟨0, 1⟩ 5. \frac{x^{n}}{1+x^{n}} , a) x ∈ ⟨0, 1 − ε⟩, b) x ∈ ⟨1 − ε, 1 + ε⟩, c) x ∈ ⟨1 + ε, +∞),

kde ε ∈ (0, 1) 6. \frac{2nx}{1+n^{2} x^{2}} , a) x ∈ ⟨0, 1⟩, b) x ∈ (1, +∞) 7. \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n^{2}}} , x ∈ R 8. \frac{sin nx}{n}, x ∈ R,

9. sin \frac{x}{n}, x ∈ R. 10. n · (\sqrt{x + \frac{1}{n}} − \sqrt{x}), x ∈ ⟨0, ∞)

11. Necht’ f_{n} ⇉ f na M a g_{n} ⇉ g na M. Platí (a) f_{n} + g_{n} ⇉ f + g na M; (b) f_{n} · g_{n} ⇉ f · g na M; (c) \frac{f_{n}}{g_{n}} ⇉ \frac{f}{g} na M?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. f_{n} ⇉ 0 na ⟨0, 1⟩ 2. f_{n} → 0 na ⟨0, 1⟩, stejnoměrně na ⟨0, 1 − ε⟩ pro ε ∈ (0, 1), na žádném ⟨1 − ε, 1⟩ konvergence není stejnoměrná. 3. f_{n} → 0 na R, stejnoměrně na (k, ∞) pro každé k ∈ R, na žádném (−∞, k) konvergence není stejnoměrná. 4. f_{n} ⇉ x na

⟨0, 1⟩ (dokonce na ⟨0, k⟩ pro k ∈ (0, ∞), ale ne na okolí +∞. 5. f_{n}(x) → \{ \begin{matrix}0 & x ∈ ⟨0, 1) \\ \frac{1}{2} & x = 1 \\ 1 & x > 1 \end{matrix} ,

a) stejnoměrně, b) nestejnoměrně, c) stejnoměrně. 6. f_{n} → 0 na R, stejnoměrně na ⟨ε, ∞⟩ pro ε > 0, nestejnoměrně na ⟨0, ε⟩. 7. f_{n} ⇉ |x| na R 8. f_{n} ⇉ 0 na R 9. f_{n} → 0 na R, stejnoměrně na omezených intervalech, nestejnoměrně na okolích ±∞. 10. f_{n}(x) →

\{ \begin{matrix}0 & x = 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}} & x > 0 \end{matrix} , stejnoměrně na ⟨ε, ∞⟩, ε > 0, nikoli na ⟨0, ε⟩. 11. (a) ANO. (b) NE. Například

f_{n}(x) = g_{n}(x) = x + \frac{1}{n} na R. Tvrzení však platí, jsou-li f a g omezené na M. (c) NE (ani za předpokladu, že všechny podíly mají smysl). Například f_{n}(x) = 1, g_{n}(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{n} na (0, +∞). Tvrzení však platí, jsou-li funkce f a \frac{1}{g} omezené na M.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

IV. Vyšetřete bodovou, stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou

konvergenci řad

1. ∑_{k=1}^{∞} \frac{kx}{1+k^{5} x^{2}} 2. ∑_{k=1}^{∞} log(1 + \frac{x^{2}}{k^{2}} ) 3. ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{x+k} 4. ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{x+2^{k}} 5. ∑_{k=1}^{∞} arctg \frac{2x}{x^{2} +k^{3}}

6. ∑_{k=2}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+sin x} 7. ∑_{k=1}^{∞} 2^{k} sin \frac{1}{3^{k}x} 8. * ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k} 9. * ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos kx}{k} 10. * ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin x sin kx}{\sqrt{k+x}}

11. * ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos kx}{k} arctg(kx + k)

12. Spočtěte limity: (a) lim_{x→1−} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k} · \frac{x^{k}}{x^{k}+1} (b) lim_{x→1−} ∑_{k=1}^{∞}(x^{k} − x^{k+1} ) (c) lim_{x→0+} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}k^{x}}

13. Platí lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}(x) dx, jestliže (a) f_{n}(x) = nxe^{−nx^{2}},

(b) f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n}, (c) f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n^{3} x^{2}} ? Jak je to se stejnoměrnou konvergencí f_{n} na (0, 1)?

14. Dokažte, že funkce ζ(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{x}} má na intervalu (1, ∞) derivace všech řádů.

15. Necht’ a = \{a_{k}\} je posloupnost nezáporných reálných čísel. Položme ζ_{a}(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{a_{k}}{k^{x}}. Co lze

říci o definičním oboru, spojitosti a derivacích funkce ζ_{a} ? (*Jak je to v případě, že a = {a_{k}} je posloupnost reálných, ne nutně nezáporných čísel?)

16. Necht’ f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{x}{k^{p}+x^{2} k^{q}} , kde p, q ≥ 0. Dokažte, že

(i) f je spojitá na (0, ∞), pokud max(p, q) > 1, (ii) f je spojitá na ℝ, pokud p + q > 2. (iii) Vyšetřete definiční obor a spojitost f v závislosti na p, q.

17. V kterých bodech má derivaci funkce (a) f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+x} (b) f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{|x|}{k^{2} +x^{2}}

18. * Dokažte, že f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k^{3}} má spojitou derivaci na ℝ a spojitou f′′ na (0, 2π).

Výsledky a návody. 1. Konverguje stejnoměrně na R (totéž platí pro řadu absolutních hodnot, lze použít Weierstrassovo kritérium). 2. Konverguje bodově na R (absolutně). Konvergence je stejnoměrná na omezených intervalech (Weierstrassovo kritérium), není omezená na okolích +∞ a −∞ (nutná podmínka). 3. Konverguje bodově na množině M = {x ∈ R; −x ∉ N} (neabsolutně), v ostatních bodech nemá smysl. Konvergence je stejnoměrná na (K, +∞) ∩ M pro každé K ∈ R (Leibnizovo kritérium), není stejnoměrná na (−∞, K) ∩ M (nutná podmínka). 4. Konverguje bodově na množině M = {x ∈ R; x ≠ −2^{k} pro k ∈ N} (absolutně), v ostatních bodech nemá smysl. Konvergence je stejnoměrná na (K, +∞) ∩ M pro každé K ∈ R (Weierstrassovo kritérium), není stejnoměrná na (−∞, K) ∩ M (nutná podmínka). 5. Konverguje stejnoměrně na R (totéž platí pro řadu absolutních hodnot, lze použít Weierstrassovo kritérium).

6. Konverguje stejnoměrně na R (neabsolutně, Leibnizovo kritérium). 7. Konverguje bodově na R \ {0} (absolutně). Konvergence je stejnoměrná na R \ ⟨−ε, ε⟩ pro ε > 0 (Weierstrassovo kritérium), není stejnoměrná na (−ε, 0) ani na (0, ε) (nutná podmínka). Poznámka: V dalších příkladech se používá i Dirichletovo a Abelovo kritérium a odhady |∑_{k=1}^{n} sinkx| ≤ \frac{1}{2| sin \frac{x}{2}|} a |∑_{k=1}^{n} coskx| ≤ \frac{1}{2| sin \frac{x}{2}|} pro x ≠ 2kπ (k ∈ Z). 8. Konverguje bodově na R (pro x = kπ je to zřejmé, pro ostatní to plyne z Dirichletova kritéria). Konvergence je stejnoměrná na intervalech (2kπ + ε, (2k + 2)π − ε) pro každé ε ∈ (0, π) (Dirichletovo kritérium), není stejnoměrná na (2kπ, 2kπ + ε) ani na (2kπ − ε, 2kπ) pro ε > 0 (Bolzano-Cauchyova podmínka). 9. Konverguje bodově na R \ {2kπ; k ∈ Z} (Dirichletovo kritérium, divergence v bodech 2kπ je důsledkem

divergence řady ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k}). Konvergence je stejnoměrná na intervalech (2kπ + ε, (2k + 2)π − ε) pro

každé ε ∈ (0, π) (Dirichletovo kritérium), není stejnoměrná na (2kπ, 2kπ + ε) ani na (2kπ − ε, 2kπ) pro ε > 0 (věta o záměně limit). 10. Konverguje stejnoměrně na (−1, +∞) (Dirichletovo kritérium), pro x ≤ −1 nemá smysl. 11. Konverguje bodově na R \ {2kπ; k ∈ Z} (Dirichle-

tovo a Abelovo kritérium, divergence v bodech 2kπ je důsledkem divergence řady ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k}). Kon-

vergence je stejnoměrná na intervalech (2kπ + ε, (2k + 2)π − ε) pro každé ε ∈ (0, π) (Dirichletovo a Abelovo kritérium), není stejnoměrná na (2kπ, 2kπ + ε) ani na (2kπ − ε, 2kπ) pro ε > 0

(věta o záměně limit). 12. (a) Limita je \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k} = −\frac{1}{2} log2 (řada konverguje stejnoměrně

na ⟨0, +∞) podle Abelova kritéria). (b) Limita je 1 (lze spočítat elementárně, nelze přehodit limitu a sumu, řada nekonverguje stejnoměrně na (1 − ε, 1)). (c) Limita je 1 (řada konverguje stejnoměrně například na (−1, +∞)). 13. (a) f_{n} → 0 na R, konvergence není stejnoměrná na (0, 1), lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n} = \frac{1}{2} ≠ 0 = ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}. (b) f_{n} → 0 na ⟨0, 1⟩, konvergence není stejnoměrná na (0, 1), lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n} = 0 = ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}. (c) f_{n} ⇉ 0 na (0, 1), a tedy lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n} = 0 = ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}. 14. Dokažte pomocí Weierstrassova kritéria, že řada n-tých derivací konverguje lokálně stejnoměrně na (1, +∞) pro všechna n. 15. Definiční obor je bud’ ∅, nebo interval (α, +∞) pro nějaké α ∈ R, nebo interval ⟨α, +∞) pro nějaké α ∈ R, nebo R. Funkce je spojitá na svém definičním oboru. Pro x ∈ (α, +∞) (je-li definiční obor (α, +∞) nebo ⟨α, +∞)) nebo pro x ∈ R (je-li definiční obor R) má funkce ζ_{a} pro všechna n ∈ N vlastní n-tou derivaci

(ζ_{a})^{(n)}(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}a_{k} log^{n} k}{k^{x}} . Je-li definiční obor ⟨α, +∞), pak n-tá derivace zprava v bodě α

je dána týmž vzorcem, pokud ovšem řada ve vzorci konverguje (což může a nemusí být pravda). Použije se Weierstrassovo kritérium (a věty o záměně limit a derivací atp.). Pro obecný případ platí stejné závěry, jen se použije Abelovo kritérium místo Weierstrassova. 16. (i) Ukažte, že řada konverguje lokálně stejnoměrně na (0, +∞). (ii) Ukažte, že řada konverguje stejnoměrně na R. (iii) Je-li max(p, q) ≤ 1, je D_{f} = {0}, je-li max(p, q) > 1, je D_{f} = R. Pro max(p, q) > 1 je f spojitá na R. Je-li navíc p+q > 2 nebo p > q, je f spojitá na R; je-li p+q ≤ 2 a p < q, není f spojitá v 0 (ani zleva ani zprava). (Případ p+q ≤ 2 a p = q nemůže nastat, je-li max(p, q) > 1.) 17. (a) Ve všech bodech definičního oboru, kterým je množina {x ∈ R; −x ∉ N}. (b) D_{f} = R, derivace existuje

(vlastní) v bodech R \ \{0\}. V 0 derivace neexistuje, protože f′_{+} (0) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} a f′_{−}(0) = −f′_{+} (0).

18. Pro první derivaci použijte Weierstrassovo kritérium, pro druhou Dirichletovo kritérium (viz příklad 8).

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

V. Následující funkce vyjádřete jako součet mocninné řady o středu 0

na maximálním otevřeném intervalu

1. e^{−x^{2}} 2. cos^{2} x 3. sin^{3} x 4. \frac{x^{10}}{1−x} 5. \frac{1}{(1−x)^{2}} 6. \frac{x}{\sqrt{1−2x}} 7. log \sqrt{\frac{1+x}{1−x}} 8. \frac{x}{1+x−2x^{2}}

9. \frac{1}{x^{2} +x+1} 10. log(1 + x + x^{2} + x^{3})

Na kruhu konvergence sečtěte mocninné řady

11. ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} 12. ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1} 13. ∑_{k=1}^{∞} kx^{k} 14. ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k}k^{2}x^{k} 15. ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!}

16. ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{k(k+1)} 17. ∑_{k=1}^{∞} k(k + 1)x^{k} 18. 1 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(2k−1)!!}{(2k)!!} x^{k} 19. ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{4k}}{(4k)!}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k}}{k!} na R. 2. 1 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}2^{2k−1}}{(2k)!} x^{2k} na R. 3. ∑_{k=0}^{∞} \frac{3}{4} ·

\frac{(−1)^{k}}{(2k+1)!} (1 − 3^{2k})x^{2k+1} na R.  4. ∑_{k=10}^{∞} x^{k} na (−1, 1).  5. ∑_{k=0}^{∞}(k + 1)x^{k} na (−1, 1).  6.

∑_{k=1}^{∞} \binom{− \frac{1}{2}}{k−1}(−1)^{k−1}·2^{k−1}x^{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(2k−3)!!}{(k−1)!} x^{k} na (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). 7. ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} na (−1, 1). 8. ∑_{k=0}^{∞} \frac{1+(−1)^{k}2^{k+1}}{3} x^{k}

na (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). 9. ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{2}{\sqrt{3}} sin(k + 1)\frac{π}{3} · x^{k} na (−1, 1).

10. ∑_{k=1}^{∞} a_{k}x^{k}, kde a_{k} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2l−1} & k = 2l − 1 \\ −\frac{1}{2l} + \frac{(−1)^{l+1}}{l} & k = 2l \end{matrix} (l ∈ N) na (−1, 1). 11. \frac{1}{2} log \frac{1+x}{1−x} na

(−1, 1). 12. arctgx na (−1, 1). 13. \frac{x}{(1−x)^{2}} na (−1, 1). 14. \frac{x(1−x)}{(1+x)^{3}} na (−1, 1). 15. \frac{e^{x}+e^{−x}}{2}

na R. 16. Součet je f(x) = \{ \begin{matrix}0 & x = 0 \\ \frac{log(1+x)}{x} + log(1 + x) − 1 & x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). \end{matrix} 17. \frac{2x}{(1−x)^{3}} na

(−1, 1). 18. \frac{1}{\sqrt{1−x}} na (−1, 1). 19. \frac{1}{2}(\frac{e^{x}+e^{−x}}{2} + cosx) na R.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

VI. Fourierovy řady

1. Rozviňte následující funkce ve Fourierovu řadu na intervalu (−π, π) a určete součet všude,

kde řada konverguje. (a) sin^{2} x, (b) cos^{3} x, (c) cos^{2m} x, (d) \frac{sin mx}{sin x}, (e) ∑_{m=1}^{∞} α^{m} \frac{sin mx}{sin x}, kde

|α| < 1. (f) \frac{1}{sin x}.

2. Pro následující funkce najděte trigonometrickou řadu, jejímž jsou součtem, a výsledek aplikujte v uvedených bodech. (a) x^{2} na (−π, π), x = 0; (b) x na (−π, π), x = \frac{π}{2};

(c) sinax na (−π, π) (a ∈ ℝ \ ℤ), x = \frac{π}{2}; (d) x^{2} na (0, 2π), x = 0. (e) x^{2} − x na (−π, π).

(f) x^{2} + sin^{4} x na (0, 2π).

3. (a) Napište funkci f(x) = x na (0, π) jako součet cosinové řady. Jaký je součet řady v ostatních bodech? (b) Napište funkci f(x) = x^{2} na (−π, 0) jako součet sinové řady. Jaký je součet řady v ostatních bodech? (c) Napište funkci f(x) = sinx na (0, π) jako součet cosinové řady. Jaký je součet řady v ostatních bodech? *4. Funkci f(x) = x na (0, \frac{π}{2}) vyjádřete jako součet trigonometrické řady obsahující jen členy tvaru

(a) c sinkx, k ∈ ℕ liché, (b) c coskx, k ∈ ℕ liché, (c) c coskx, k ∈ ℕ sudé, (d) c sinkx, k ∈ ℕ sudé. Jak vypadají součty těchto řad?

Výsledky a návody. 1. a) \frac{1}{2} − \frac{1}{2} cos2x, konverguje všude k f, je to trigonometrický polynom. b) \frac{3}{4} sinx − \frac{1}{4} sin3x, konverguje všude k f, je to trigonometrický polynom. c) \frac{1}{2^{2m}} · \binom{2m}{m} +

∑_{n=1}^{m} \frac{1}{2^{2m−1}} · \binom{2m}{m−n} cos2nx, konverguje všude k f, je to trigonometrický polynom. d) Pro m = 2k:

∑_{n=1}^{k} 2 cos(2n − 1)x; pro m = 2k + 1: 1 + ∑_{n=1}^{k} 2 cos2nx; konverguje všude k f, je to trigonomet-

rický polynom. e) \frac{α}{1−α^{2}} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{2α^{n+1}}{1−α^{2}} sinnx, konverguje všude k f. f) Toto není po částech spojitá

funkce, nemá FŘ. 2. a) \frac{π^{2}}{3} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{4·(−1)^{n}}{n^{2}} · cosnx; ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12} . b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2·(−1)^{n+1}}{n} · sinnx;

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} = \frac{π}{4}. c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2n·(−1)^{n+1}}{π(n^{2} −a^{2} )} · sinπa · sinnx; \frac{π}{cos πa} = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} · (\frac{1}{n+ \frac{1}{2} −a} + \frac{1}{n+ \frac{1}{2} +a} ) .

d) \frac{4π^{2}}{3} + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{4}{n^{2}} cosnx − \frac{4π}{n} sinnx); ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} . 3. a) \frac{π}{2} − ∑_{n=0}^{∞} \frac{4}{π(2n+1)^{2}} cos(2n + 1)x; b)

∑_{n=1}^{∞} (2 · (−1)^{n} · \frac{π}{n} + \frac{4}{πn^{3}} (1 − (−1)^{n})) sinnx. 4. a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{4·(−1)^{k}}{π·(2k+1)^{2}} sin(2k + 1)x, součet je f^{∗}(x) =

\{ \begin{matrix}−π − x & x ∈ [−π, \frac{π}{2}] \\ x & x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ π − x & x ∈ [\frac{π}{2}, π] \end{matrix}, a 2π-periodicky. b) ∑_{k=0}^{∞} (\frac{2·(−1)^{k}}{2k+1} − \frac{4}{π·(2k+1)^{2}} ) · cos(2k + 1)x, součet je

f^{∗}(x) = \{ \begin{matrix}−π − x & x ∈ [−π, \frac{π}{2}) \\ |x| & x ∈ (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \\ x + π & x ∈ (\frac{π}{2}, π] \\ 0 & x = ±\frac{π}{2} \end{matrix} , a 2π-periodicky. c) \frac{π}{4} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}−1}{π·k^{2}} cos2kx, součet je f^{∗}(x) =

\{ \begin{matrix}π + x & x ∈ [−π, \frac{π}{2}] \\ |x| & x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ π − x & x ∈ [\frac{π}{2}, π] \end{matrix}, a 2π-periodicky. d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{2·(−1)^{k}}{k} sin2kx, součet je f^{∗}(x) = \{ \begin{matrix}π + x & x ∈ [−π, \frac{π}{2}) \\ x & x ∈ (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \\ x − π & x ∈ (\frac{π}{2}, π] \\ 0 & x = ±\frac{π}{2} \end{matrix} ,

a 2π-periodicky.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

VII. Otevřené a uzavřené množiny, vnitřek, uzávěr …

1. Rozhodněte, zda následující množiny jsou otevřené ev. uzavřené, zjistěte jejich vnitřek, uzávěr, hranici.

(a) ℚ, (b) ℕ, (c) \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\}, (d) (−∞, 0) ∪ \{x ∈ ℚ | x > 0\} Všechny tyto množiny uvažujte (i) v ℝ s obvyklou metrikou (ii) v rovině (ℝ^{2}) s euklidovskou metrikou.

2. Rozhodněte, zda následující množiny jsou otevřené ev. uzavřené, zjistěte jejich vnitřek, uzávěr, hranici.

a) A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x > 0, y ≤ 0};  b) B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} + 2xy = 5};
c) C = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x ≥ 0, y > 0, x + y = 2, z ≤ 0\}; d) D = \{f ∈ C[0, 1] | f(\frac{1}{2}) = 2\};
e) E = \{f ∈ C[0, 1] | f(\frac{1}{2}) ∈ (0, 2)\};  f) F = \{f ∈ C[0, 1] | ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0\}
g) G = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |x + y| > x + y}  g) H = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |x − y| = x − y}

3. Definujme N : C[0, 1] → ℝ předpisem N (f) = ∫_{0}^{1} f(x)dx. Je N spojité zobrazení?

4. Platí rovnosti \overline{B(a, δ)} = \{x | ρ(a, x) ≤ δ\} a int\{x | ρ(a, x) ≤ δ\} = B(a, δ) pro každé δ > 0 a) v každém metrickém prostoru b) v normovaném lineárním prostoru ?

Výsledky a návody. 1. (i) V ℝ: (a) Není otevřená ani uzavřená, intℚ = ∅, bdℚ = \overline{ℚ} = ℝ.

(b) Uzavřená, intℕ = ∅, \overline{ℕ} = bdℕ = ℕ. (c) Není otevřená ani uzavřená, vnitřek je ∅, uzávěr i hranice je \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} ∪ \{0\}. (d) Není otevřená ani uzavřená, vnitřek je (−∞, 0), uzávěr ℝ, hranice [0, ∞). (ii) V rovině (jakožto podmnožiny osy x, kterou značíme ℝ): (a) Není otevřená ani uzavřená, intℚ = ∅, bdℚ = \overline{ℚ} = ℝ. (b) Uzavřená, intℕ = ∅, \overline{ℕ} = bdℕ = ℕ. (c) Není otevřená ani uzavřená, vnitřek je ∅, uzávěr i hranice je \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\}∪\{0\}. (d) Není otevřená ani uzavřená, vnitřek je ∅, uzávěr ℝ, hranice ℝ. 2. (a) Není otevřená ani uzavřená, intA = {(x, y) | x > 0, y < 0}, \overline{A} = \{(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0\}, bdA = \{(x, y) | (x ≥ 0, y = 0) nebo (x = 0, y ≤ 0)\}. (b) Uzavřená, intB = ∅, \overline{B} = bdB = B. (c) Není otevřená ani uzavřená, intC = ∅, \overline{C} = bdC = \{(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 2, z ≤ 0\}. (d) Uzavřená, intD = ∅, \overline{D} = bdD = D. (e) Otevřená, intE = E, \overline{E} = \{f | f(\frac{1}{2}) ∈ [0, 2]\}, bdE = \{f | f(\frac{1}{2}) ∈ \{0, 2\}\}. (f) Uzavřená, intF = ∅, \overline{F} = bdF = F.

(g) Otevřená, intG = G, \overline{G} = \{(x, y) | x + y ≤ 0\}, bdG = \{(x, y) | x + y = 0\}. (h) Uzavřená, intH = {(x, y) | x > y}, bdH = {(x, y) | x = y}. 3. Ano, využijte větu o záměně limity a integrálu. 4. V metrickém prostoru platit nemusí (např. diskrétní prostor a δ = 1), ale v NLP platí.