1. KONSTRUKCE LEBESGUEOVY MÍRY i. abstraktní definice míry

1. Definice σ-algebry: Necht’ X je množina a A nějaký systém podmnožin X. Řekneme, že A je σ-algebra, pokud platí:

(1) ∅ ∈ A;

(2) A ∈ A ⟹ (A^{c} =)X \ A ∈ A;

(3) A_{n} ∈ A pro n ∈ ℕ ⟹ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ A.

2. Příklady: A_{1} = P(X) (t.j. systém všech podmnožin X) je σ-algebra. A_{2} = {∅, X} je σ-algebra.

3. Definice míry: Necht’ X je množina a A σ-algebra podmnožin X. Míra na (X, A) je zobrazení μ : A → [0, ∞], které splňuje:

(1) μ(∅) = 0;

(2) Jsou-li A_{n} ∈ A po dvou disjunktní, pak μ ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}).

4. Příklady: X bud’ libovolná množina a A = P(X).

a) μ(A) = 0 pro A ⊂ X je nulová míra.

b) μ(A) je počet prvků A (+∞ pro nekonečnou A) je aritmetická (sčítací) míra.

c) Necht’ x ∈ X. Pak δ_{x}(A) = \{ \begin{matrix}1 & x ∈ A \\ 0 & x ∉ A \end{matrix} je Diracova míra nesená bodem x.

ii. intervaly a borelovské množiny v ℝ^{k}

1. Intervaly: Intervalem v ℝ^{k} rozumíme množinu tvaru I = I_{1} × ⋯ × I_{k}, kde I_{1}, …, I_{k} jsou intervaly (libovolného typu) v ℝ. Objemem intervalu I (značíme volI) rozumíme jeho objem jakožto kvádru, t.j. součin délek intervalů I_{1}, …, I_{k}. (Pokud je aspoň jeden z těchto intervalů degenerovaný, je objem 0, pokud jsou všechny nedegenerované a aspoň jeden je neomezený, je objem +∞.)

2. Otevřené množiny: Množina M ⊂ ℝ^{k} je otevřená, pokud pro každé x ∈ M existuje δ > 0, že B(x, δ) ⊂ M (kde B(x, δ) je koule o středu x a poloměru δ).

3. Každá otevřená množina v ℝ^{k} je sjednocením posloupnosti po dvou disjunktních (polouzavřených) intervalů.

4. Borelovské množiny: Označme symbolem B^{k} nejmenší σ-algebru obsahující otevřené množiny v ℝ^{k}. Tato σ-algebra se nazývá σ-algebra borelovských množin. Dle předchozího bodu je to zároveň nejmenší σ-algebra obsahující intervaly.

iii. vlastní konstrukce lebesgueovy míry

1. Vnější míra: Pro A ⊂ ℝ^{k} libovolnou položme

λ^{∗}(A) = inf {∑_{n=1}^{∞}volI_{n} | I_{n} jsou intervaly a A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} I_{n}} .

Tuto množinovou funkci nazveme vnější Lebesgueovou mírou.

2. Pozorování: Definice λ^{∗} se nezmění, budeme-li uvažovat pouze otevřené intervaly; nebo pouze intervaly o hranách ≤ δ pro pevné δ > 0. Dále je zřejmé, že λ^{∗}(x + A) = λ^{∗}(A) pro každé A ⊂ ℝ^{k} a x ∈ ℝ^{k}.

3. Monotonie a σ-subaditivita: Platí:

A ⊂ B ⇒ λ^{∗}(A) ⊂ λ^{∗}(B),

A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ⟹ λ^{∗}(A) ≤ ∑_{n=1}^{∞}λ^{∗}(A_{n}).

4. Míra intervalu: Je-li I interval, pak λ^{∗}(I) = volI.

5. F_{1}, F_{2} disjunktní uzavřené omezené množiny ⟹ λ^{∗}(F_{1} ∪ F_{2}) = λ^{∗}(F_{1}) + λ^{∗}(F_{2}).

6. F_{1}, F_{2}, …, F_{n} po dvou disjunktní uzavřené omezené množiny

⟹ λ^{∗}(F_{1} ∪ ⋯ ∪ F_{n}) = λ^{∗}(F_{1}) + ⋯ + λ^{∗}(F_{n}).

7. G otevřená, ε > 0 ⟹ existuje F ⊂ G uzavřená, λ^{∗}(F) > λ^{∗}(G) − ε.

8. Definice: Označme B_{0}^{k} systém všech množin A ⊂ ℝ^{k}, pro které pro každé ε > 0 existují F ⊂ A uzavřená a G ⊃ A otevřená, že λ^{∗}(G \ F) < ε.

9. G omezená otevřená, F ⊂ G uzavřená ⟹ λ^{∗}(G \ F) = λ^{∗}(G) − λ^{∗}(F)

10. B_{0}^{k} je uzavřená na doplňky a konečné průniky.

11. Kritérium měřitelnosti: Necht’ A ⊂ ℝ^{k} je omezená a necht’ pro každé ε > 0 existuje F ⊂ A uzavřená, že λ^{∗}(F) > λ^{∗}(A) − ε. Pak A ∈ B_{0}^{k}.

12. Je-li λ^{∗}(A) = 0, pak A ∈ B_{0}^{k}. Každý interval patří do B_{0}^{k}.

13. Necht’ I je omezený interval a A_{n} ⊂ I jsou po dvou disjunktní prvky B_{0}^{k}. Pak

A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ B_{0}^{k} a λ^{∗}(A) = ∑_{n=1}^{∞}λ^{∗}(A_{n}).

14. Necht’ A_{n} ⊂ ℝ^{k} jsou po dvou disjunktní prvky B_{0}^{k}. Pak

A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ B_{0}^{k} a λ^{∗}(A) = ∑_{n=1}^{∞}λ^{∗}(A_{n}).

15. Závěr: B_{0}^{k} je (nejmenší) σ-algebra obsahující intervaly a nulové množiny, λ^{k} = λ^{∗} ↾ B_{0}^{k} je míra, invariantní vůči posunutí, a navíc λ^{k}(I) = volI pro každý interval. λ^{k} se nazývá k-rozměrná Lebesgueova míra.

16. Poznámky:

(i) λ^{k} je svými vlastnostmi v předchozím bodě jednoznačně určena. (ii) Existuje B ⊂ [0, 1] taková, že λ^{∗}(B) = λ^{∗}([0, 1] \ B) = 1. (iii) B_{0}^{k} je ostře větší než B^{k}.

iv. poznámky o úplnosti míry

1. Definice úplné míry. Necht’ X je množina, A σ-algebra podmnožin X a μ míra na (X, A). Řekneme, že μ je úplná, pokud platí: Jestliže A ∈ A, μ(A) = 0 a B ⊂ A, pak B ∈ A (a ovšem μ(B) = 0).

2. Zúplnění míry. Necht’ μ je míra na (X, A). Necht’ A_{0} je systém těch množin M ⊂ X, pro které existují A, B ∈ A, že A ⊂ M ⊂ B a μ(B \ A) = 0. Pro M ∈ A_{0} položme μ_{0}(M) = μ(A), kde A je ta množina z definice. Pak A_{0} je σ-algebra a μ_{0} je úplná míra na (X, A_{0}). Nazýváme ji zúplněním míry μ.

3. λ^{k} ↾ B^{k} není úplná, λ^{k} je její zúplnění.

2. Zkoumejte existenci a konvergenci Lebesgueových integrálů

1. Zkoumejte ∫_{0}^{∞} x^{α} dx pro α ∈ ℝ. Ukažte, že a) x^{α} ∈ Z_{(0,∞)}^{R}, b) x^{α} · χ_{(0,∞)} ∈ Z_{ℝ}^{R},

c) x^{α} · χ_{[0,∞)} ∉ Z_{ℝ}^{∗}, ale patří do ℒ _{ℝ}^{R}. Pro která α integrál konverguje?

2. ∫_{0}^{1} \frac{log(1+x)}{x} dx 3. ∫_{0}^{π} \frac{dx}{\sqrt{sin x}} 4. ∫_{−1}^{3} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}} 5. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{a−1}}{1+x} dx, a ∈ ℝ 6. ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x^{α}}, α ∈ ℝ

7. ∫_{0}^{∞} \frac{x^{β}}{1+x^{α} sin^{2} x} dx, α, β ∈ ℝ 8. Necht’ D je Dirichletova funkce, tj. D(x) = \{ \begin{matrix}1 & x ∈ ℚ \\ 0 & x ∉ ℚ \end{matrix} .

Zkoumejte a) ∫_{0}^{1} D(x) dx, b) ∫_{1}^{∞} D(x) dx, c) ∫_{−5}^{5}(1 − D(x)) dx, d) ∫_{−∞}^{5} D(x) − 1 dx,

e) ∫_{7}^{∞} D(x) · cosx dx, f) ∫_{−∞}^{−10} (D(x) − 1) sinx dx.

Zkoumejte limity a možnost použití vět o záměně limity a integrálu

9. lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{n} dx 10. lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{nx}{1+n^{2} x^{2}} dx 11. lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} dx 12. lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} dx

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a),b) Uvažme f_{n}(x) = x^{α} na [1 + \frac{1}{n}, n], 0 pro x ≥ n + \frac{1}{2} a x ≤ 1, lineární na meziintervalech. c) Pokud f ≤ x^{α}, f ∈ Z, pak f(1) ≥ 0, a neexistuje f ∈ Z, f ≥ x^{α}. Pro α < −1 integrál konverguje (a je −\frac{1}{1+α} ), pro α ≥ −1 diverguje (a je +∞). 2. Konverguje – integrand je spojitý na [0, 1]. 3. Funkce je v Z^{R}, porovnáním s \frac{1}{\sqrt{x}} u 0 zjistíme, že konverguje.

4. Není v Z^{∗}, zřejmě je v Λ. Je v Z_{(0,3)}^{R} a v Z_{(−1,0)}^{K}, integrál konverguje, protože konvergují ∫_{−1}^{0} a

∫_{0}^{3}. 5. Zřejmě je v Z^{R}, rozdělme na ∫_{0}^{1} a ∫_{1}^{∞}. Konverguje, právě když a ∈ (1, 2), jinak je +∞.

6. Není v Z^{∗}, je v Λ. Nejprve rozdělme na (0, π) a (π, ∞). ∫_{0}^{π} konverguje, právě když α < 2, jinak je +∞. Dále zkoumejme ∫_{π}^{∞} f^{+} a ∫_{π}^{∞} f^{−}. Pro α > 1 oba konvergují, jinak jsou oba +∞. Tedy pro α > 1 ∫_{1}^{π} konverguje, jinak neexistuje. Závěr: Pro α ∈ (1, 2) původní integrál konverguje (funkce patří do ℒ ), pro α ≥ 2 je +∞ (funkce patří do ℒ ^{R} \ ℒ ), pro α ≤ 1 neexistuje (funkce je v Λ \ ℒ ^{∗}).

7. Patří do Z^{R}, konverguje pokud α ≥ 2(β + 1) > 0 nebo 1 + α < β < −1. 8. a) Není v Z^{∗}, je v ℒ , integrál je 0. b) Není v Z^{∗}, zřejmě je v ℒ ^{R}, integrál je 0, tedy je v ℒ . c) Není v Z^{∗}, je v ℒ , integrál je 5. d) Není v Z^{∗}, je v ℒ ^{R}, integrál je +∞. e) Není v Z^{∗}, zřejmě je v Λ, integrál je 0, tedy je v ℒ . e) Není v Z^{∗}, zřejmě je v Λ, integrál neexistuje, není v ℒ ^{∗}. 9. ∫_{0}^{1} f_{n} = \frac{1}{n(n+1)} → 0 (jde to spočítat), f_{n} ⇉ 0 na [0, 1] (lze použít věta o stejnoměrné konvergenci), f_{n} ↘ 0 na [0, 1] (lze použít Léviho věta), |f_{n}| ≤ 1 (lze použít Lebesgueova věta). 10. ∫_{0}^{1} f_{n} = \frac{log(1+n^{2} )}{n} → 0 (jde to spočítat), f_{n} ⇉̸ na [0, 1], ani to není monotónní posloupnost, ale |f_{n}| ≤ \frac{1}{2} (lze použít Lebesgueova věta). 11. 0 ≤ f_{n} ≤ x^{n}, 0 ≤ ∫_{0}^{1} f_{n} ≤ \frac{1}{n} → 0 (jde to odhadnout), f_{n} → 0 na (0, 1) a |f_{n}| ≤ 1 (lze použít Lebesgueova věta), f_{n} ↘ 0 na (0, 1) (lze použít Léviho věta), stejnoměrně nekonverguje.

12. Na (1, ∞): 0 ≤ f_{n} ≤ \frac{1}{x^{n}}, 0 ≤ ∫_{1}^{∞} f_{n} ≤ \frac{1}{n−1} pro n ≥ 2 (lze to odhadnout), f_{n} ↘ 0 na (1, ∞), ∫_{1}^{∞} f_{2} konverguje (lze použít Léviho věta), f_{n} → 0 na (1, ∞) a |f_{n}| ≤ f_{2} pro n ≥ 2 (lze použít Lebesgueova věta).

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

3. Fubiniova věta, integrály závislé na parametru

1. Spočtěte ∫∫_{M} f(x, y) dx dy, pokud a) M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |x| + |y| = 1}, f(x, y) = x^{2} + y^{2};

b) M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ y}, f(x, y) = e^{−(x+y)} ; c) M je omezená osami a křivkou \sqrt{x}+\sqrt{y} = 1, f(x, y) = xy. 2. Spočtěte objemy těles ohraničených plochami a) z = 1 a z^{2} = x^{2}+y^{2};

b) z = 1 a z = x^{2} + y^{2}; c) z = 0, x = 1, x = 3, y = 2, y = 3 a z = xy; d) x^{2} + y^{2} = Rx a x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} (kde R > 0). 3. Spočtěte pomocí Fubiniovy věty: a) ∫_{0}^{∞} \frac{arctg ax−arctg bx}{x} dx;

b) ∫_{0}^{1} \frac{x^{b}−x^{a}}{log x} dx; c) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax}−e^{−bx}}{x} dx; d) ∫_{0}^{∞} \frac{log(1+a^{2} x^{2} )−log(1+b^{2} x^{2} )}{x^{2}} dx. 4. Spočtěte s využitím věty

o derivaci podle parametru: a) ∫_{0}^{∞} \frac{1−e^{−ax}}{xe^{x}} dx; b) ∫_{0}^{π} \frac{log(1+a cos x)}{cos x} dx. 5. Vyšetřete průběh funkce

a) F (a) = ∫_{1}^{∞} \frac{sin \frac{1}{x}}{x(x+a)^{2}} dx; b) F (a) = ∫_{0}^{1} log(x^{2} + a^{2}) dx; c) F (a) = ∫_{0}^{1} \frac{a^{x^{2} +1}}{x^{2} +1} .

Výsledky a návody. 1. a) \frac{2}{3}, b) \frac{1}{2}, c) \frac{1}{280} . 2. a) \frac{π}{3}, b) \frac{π}{2}, c) 10, d) \frac{4}{3}R^{3}(\frac{π}{2} − \frac{2}{3}). 3. a) \frac{π}{2} log \frac{a}{b}, pokud a, b > 0 nebo a, b < 0, jinak integrál diverguje; b) log \frac{a+1}{b+1} pro a, b > −1, 0 pro a = b, jinak nekonverguje; c) log \frac{b}{a} pro a, b > 0, 0 pro a = b, jinak nekonverguje; d) π(a − b). 4.

a) log(a+1) pro a > −1; b) π arcsina pro a ∈ [−1, 1]. 5. a) Definována na (−1, ∞), tam spojitá, klesající, konvexní, lim_{a→−1+} F (a) = +∞, lim_{a→+∞} F (a) = 0. b) Definována na ℝ, spojitá a sudá, na

[0, ∞] rostoucí, lim_{a→+∞} = +∞, F (0) = log2 − 1. c) Definováno pro a > 0, tam spojité, rostoucí,

konvexní, lim_{a→0+} F (a) = 0, lim_{a→+∞} F (a) = +∞, lim_{a→0+} F′(a) = 0.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

4. Komplexní čísla, analytické funkce

1. Spočtěte a) (1 + i)^{20}, b) (1 − i)^{7}, c) (1 + \sqrt{3}i)^{−10}. 2. Najděte všechna komplexní čísla z, pro která platí a) z^{4} = 1, b) z^{4} = −16, c) z^{3} = −1, d) z^{4} = −8 − 8\sqrt{3}i.

3. Pro následující funkce spočtěte derivaci podle komplexní proměnné ve všech bodech, kde existuje: a) f(z) = Rez, b) f(z) = Re(z^{2}), c) f(z) = (Rez)^{2}, d) f(z) = |z|^{2}, e) f(z) = Rez · Imz, f) f(z) = 2 Rez · Imz + i|z|^{2}. 4. Určete maximální oblast, na nichž je funkce analytická:

a) f(z) = 3 Rez + Imz + i(3 Imz − Rez), b) f(z) = e^{− Im z} · e^{i Re z}, c) f(z) = Rez · Imz + i Imz,

d) f(z) = \sqrt{|z|}e^{\frac{i}{2} Arg z}, e) f(z) = log|z| + i Argz.

5. V bodech d),e) předchozího příkladu určete (a nakreslete) obor hodnot funkce f.

6. Necht’ D je oblast v rovině. Najděte všechny funkce f analytické v oblasti D, které splňují

a) f je reálná, b) f̄ je analytická, c) |f| je konstantní, d) Ref je konstantní.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) −1024, b) 8(1 + i), c) \frac{−1+\sqrt{3}i}{2048} . 2. a) 1, i, −1, −i, b) \sqrt{2}(±2 ± i) (4 možnosti), c) −1, \frac{1}{2} ± \frac{\sqrt{3}}{2}i, d) ±(\sqrt{3} − i), ±(1 + \sqrt{3}i). 3. a) nikde, b) jen v 0, tam 0, c) jen pro Rez = 0, tam 0, d),e) jen v 0, tam 0, f) jen pro Rez = 0, tam 2 Imz. 4. a) celá rovina (f(z) = (3 − i)z); b) celá rovina; c) ∅ (derivace existuje jen v bodě i, kde je 1); d),e) ℂ \ {z ∈ ℂ | z ≤ 0}. 5. d) {z ∈ ℂ | Rez > 0}; e) {z ∈ ℂ | Imz ∈ (−π, π)}. 6. Pouze konstantní: a),b),d) použije CR podmínky; c) využijte b) a toho, že f̄ = \frac{|f|^{2}}{f} .

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

5. Komplexní čísla – elementární funkce

1. Najděte všechna z ∈ ℂ, pro která platí a) e^{z} = −2, b) e^{z} = 1 + \sqrt{3}i, c) e^{2z−1} = 2, d) cosz = 2,

e) sinz = i. 2. Spočtěte a) Log(−ei), b) Log(1 − i). 3. Jaký je vztah mezi množinami log(i^{2}) a 2 logi? (Nebo obecněji mezi log(z^{2}) a 2 logz?)

4. Vyjádřete Log(z_{1}z_{2}) pomocí Logz_{1} a Logz_{2}. Kdy platí Log(z_{1}z_{2}) = Logz_{1} + Logz_{2}?

5. Najděte všechny hodnoty a určete hlavní hodnotu a) (1 + i)^{i}, b) (−1)^{\frac{1}{π}}, c) i^{i}, d) (1 − i)^{4i}.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) ln2+(2k+1)πi, k ∈ ℤ, b) ln2+i(\frac{π}{3}+2kπ), k ∈ ℤ, c) \frac{1}{2}(ln2−1)+kπi, k ∈ ℤ, d) 2kπ+i ln(2±\sqrt{3}), k ∈ ℤ, e) (2k+1)π+i ln(\sqrt{2}+1), 2kπ+i ln(\sqrt{2}−1), k ∈ ℤ. 2. a) 1−i\frac{π}{2},

b) ln2 − i\frac{π}{4}. 3. 2 logz ⊊ log(z^{2}). 4. Necht’ z_{1} = r_{1}e^{iϕ_{1}}, z_{2} = r_{2}e^{iϕ_{2}}, kde ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ (−π, π].

Pak Log(z_{1}z_{2}) = \{ \begin{matrix}Logz_{1} + Logz_{2} + 2πi & ϕ_{1} + π_{2} ∈ (−2π, −π], \\ Logz_{1} + Logz_{2} & ϕ_{1} + π_{2} ∈ (−π, π], \\ Logz_{1} + Logz_{2} − 2πi & ϕ_{1} + π_{2} ∈ (π, 2π]. \end{matrix} Speciálně, pokud Rez_{1} > 0 a

Rez_{2} > 0, pak Log(z_{1}z_{2}) = Logz_{1}+Logz_{2}. 5. a) exp(−\frac{π}{4}−2kπ)(cos(\frac{1}{2} ln2)+i sin(\frac{1}{2} ln2)), k ∈ ℤ;

b) cos(2k+1)+i sin(2k+1), k ∈ ℤ; c) exp(−\frac{π}{4}−2kπ), k ∈ ℤ; d) exp(π−8kπ)(cos(2 ln2)+i sin(2 ln2), k ∈ ℤ. Hlavní hodnoty jsou ve všech případech pro k = 0.

6. Integrály a křivkové integrály komplexních funkcí

1. Spočtěte integrály a) ∫_{1}^{2}(\frac{1}{t} −i)^{2} dt, b) ∫0^{\frac{π}{6}} e^{2it} dt, c) ∫_{0}^{+∞} e^{−zt} dt, z ∈ ℂ, d) ∫_{0}^{π} e^{(1+i)t} dt, využijte k vyjádření ∫_{0}^{π} e^{t} cost dt a ∫_{0}^{π} e^{t} sint dt. 2. Spočtěte křivkové integrály ∫_{C} f(z) dz, kde a) f(z) = \frac{z+2}{z} , C je i) polokružnice z = 2e^{iϕ}, ϕ ∈ [0, π], ii) polokružnice z = 2e^{iϕ}, ϕ ∈ [π, 2π], iii) kružnice z = 2e^{iϕ}, ϕ ∈ [0, 2π]; b) f(z) = z−1, C je i) úsečka [0, 2] na reálné ose, ii) polokružnice od 0 do 2 (se středem v 1, v dolní polorovině); c) f(z) = πe^{πz̄}, C je obvod čtverce s vrcholy 0, 1, 1 + i, i. 3. S využitím primitivních funkcí spočtěte a) ∫_{C} z^{n} dz, kde C je jednotková kružnice

obíhaná proti směru hodinových ručiček a n ∈ ℤ; b) ∫i^{\frac{i}{2}} e^{πz} dz, c) ∫_{0}^{π+2i} cos \frac{z}{2} dz, d) ∫_{1}^{3}(z − 1)^{3} dz, kde tyto integrály jsou přes libovolnou křivku s uvedenými krajními body.

4. Spočtěte ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx s vyžitím Cauchyho věty.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

7. Řady a Taylorovy řady

1. Necht’ lim_{n→∞} z_{n} = z. Co lze říci o limitách lim_{n→∞} \overline{z_{n}} a lim_{n→∞} |z_{n}| ? 2. Sečtěte řady ∑_{n=1}^{∞} r^{n} cosnt

a ∑_{n=1}^{∞} r^{n} sinnt. 3. Vyjádřete funkci f mocninnou řadou o středu z_{0} a určete kruh konvergence,

pokud a) f(z) = e^{z}, z_{0} = 1; b) f(z) = \frac{z}{z^{4} +9} , z_{0} = 0; c) f(z) = sinz^{2}, z_{0} = 0, spočtěte f^{(6)}(0), f^{(15)} (0); d) f(z) = \frac{1}{1−z}, z_{0} = i; e) f(z) = cosz, z_{0} = \frac{π}{2}; f) f(z) = sinhz, z_{0} = πi. 4. Pro funkci f(z) = tghz najděte první dva nenulové členy Maclaurinovy řady a určete kruh konvergence.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

Test číslo 3

1. Spočtěte integrál ∫_{M} f(x, y) dx dy, kde f(x, y) = e^{−2y−3x} a M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ y ≤ 3x} (15 bodů)

2. Vyšetřete průběh funkce F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax}}{1+x^{2}} dx, to jest:

a) Určete definiční obor. (3 body)

b) Ukažte, že F je spojitá tím, že ověříte předpoklady věty o spojitosti podle parametru. (6 bodů)

c) Spočtěte derivaci F pomocí věty o derivování dle parametru, a usud’te, jak je F monotónní. (8 bodů)

d) Spočtěte druhou derivaci F, a vyvod’te závěry o konvexitě ev. konkávnosti F. (8 bodů)

e) Spočtěte limity F v krajních bodech definičního oboru, a také jednostranné derivace F (pomocí vhodných vět o limitních přechodech). (7 bodů)

f) Načrtněte graf funkce F. (3 body)

3. Určete všechna komplexní řešení rovnice z^{5} = 16\sqrt{3} + 16i. (16 bodů)

4. Uvažme komplexní funkci f(x + iy) = \frac{x+i(2−|y+2|)}{x^{2} +y^{2}} .

a) Určete maximální oblast, kde je f holomorfní. (17 bodů)

b) Spočtěte ∫_{C} f(z) dz, kde C je jednotková kružnice se středem v 0 probíhaná po směru hodinových ručiček. (17 bodů)

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

8. Laurentovy řady

1. Rozved’te funkci \frac{1}{1+z} v Laurentovu řadu na oblasti 1 < |z| < ∞.

2. Funkci f rozviňte v Laurentovy řady o středu z_{0} a určete, kde konvergují. a) f(z) = \frac{z+1}{z−1}, z_{0} = 0; b) f(z) = \frac{z}{(z−1)(z−3)} , z_{0} = 1; c) f(z) = \frac{1}{z(1+z^{2} )} , z_{0} = 0; d) f(z) = exp(z + \frac{1}{z}), z_{0} = 0.

3. S použitím derivování nebo integrování řad rozviňte funkci f v Taylorovu nebo Laurentovu řadu o středu z_{0}. a) f(z) = \frac{1}{(1−z)^{2}} , z_{0} = 0; b) f(z) = \frac{1}{(1−z)^{3}} , z_{0} = 0; c) f(z) = \frac{1}{z^{2}} , z_{0} = 1 (nejprve vyjádřete \frac{1}{z}); d) f(z) = Log(1 + z), z_{0} = 0; 4. Pomocí řad určete oblast holomorfnosti (spojitě dodefinovaných) funkcí a) f(z) = \frac{e^{cz}−1}{z} (c ∈ ℂ); b) f(z) = \frac{Log z}{z−1}; c) f(z) = \frac{cos z−1}{z^{2}};

d) f(z) = \frac{z}{sin z}. 5. Najděte několik (3 až 4) prvních členů Laurentovy řady funkce f na uvedené oblasti. a) f(z) = \frac{e^{z}}{z(1+z^{2} )} , 0 < |z| < 1; b) f(z) = \frac{1}{sin z}, 0 < |z| < π; c) f(z) = \frac{1}{e^{z}−1}, 0 < |z| < 2π.

9. Póly, rezidua, reziduová věta

1. Určete povahu singularit funkcí a určete hlavní část příslušné Laurentovy řady. a) z exp(\frac{1}{z});

b) \frac{z^{2}}{1+z} ; c) \frac{sin z}{z}; d) \frac{cos z}{z}; e) \frac{1}{(2−z)^{3}} . 2. Ukažte, že singularity následujících funkcí jsou póly, určete jejich stupeň a příslušné reziduum. a) \frac{1−cosh z}{z^{3}}; b) \frac{1−e^{2z}}{z^{4}} ; c) \frac{e^{2z}}{(2−z)^{3}} ; d) tghz; e) \frac{z}{cos z}; f) \frac{e^{z}}{z^{2} +π^{2}} ;

g) \frac{z^{\frac{1}{4}}}{z+1} (|z| > 0, 0 < argz < 2π). 3. Najděte rezidua následujících funkcí v bodě 0. a) \frac{1}{z+z^{2}} ;

b) z cos \frac{1}{z}; c) \frac{z−sin z}{z}; d) \frac{cotg z}{z^{4}}; e) \frac{sinh z}{z^{4} (1−z^{2} )} . 4. Pomocí reziduové věty spočtěte ∫_{C} f(z) dz, pokud a) f(z) = \frac{e^{−z}}{z^{2}}, C je kružnice |z| = 2; b) f(z) = z^{2} exp \frac{1}{z}, C je kružnice |z| = 1; c) f(z) = \frac{z+1}{z^{2} −2z}, C je kružnice (i) |z| = 1, (ii) |z| = 3; d) f(z) = exp(z + \frac{1}{z}), C je kružnice |z| = 1. 5. Pomocí reziduové věty spočtěte reálné integrály. a) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{2} +1} dx; b) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{(x^{2} +1)^{2}} dx; c) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{(x^{2} +9)(x^{2} +4)^{2}} dx;

d) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{4} +1} dx; e) ∫_{0}^{∞} \frac{cos ax}{x^{2} +1} dx (a ≥ 0); f) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{3} sin ax}{x^{4} +4} dx (a > 0); g) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{3} sin x}{(x^{2} +1)(x^{2} +9)} dx.