\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}%
\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}%
\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}%cstocs
\def\softL{L\kern-0.8ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern0.1ex}%cstocs
% endofdefsfromcstocs %

\input cviceni
\vcorrection{12 mm}
\NoBlackBoxes

{\def\vol{\operatorname{vol}}

\centerline{\smc 1. KONSTRUKCE LEBESGUEOVY M\'IRY}

\centerline{\smc i. abstraktn\'{\i} definice m\'{\i}ry}

\begingroup
\pr Definice $\sigma$-algebry: Nech\softt{} $X$ je mno\v{z}ina a $\Cal A$ \it n\v{e}jak\'y \rm
syst\'em podmno\v{z}in $X$. \v{R}ekneme, \v{z}e $\Cal A$ je \bf $\sigma$-algebra\rm,
pokud plat\'{\i}:

\roster
\item $\emptyset\in \Cal A$;
\item $A\in\Cal A\Longrightarrow (A^c=)X\setminus A\in\Cal A$;
\item $A_n\in\Cal A$ pro $n\in\Bbb N$ $\Longrightarrow$
$\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in \Cal A$.
\endroster

\pr P\v{r}\'{\i}klady: $\Cal A_1=\Cal P(X)$ (t.j. syst\'em \it v\v{s}ech \rm
podmno\v{z}in $X$) je $\sigma$-algebra. $\Cal A_2=\{\emptyset, X\}$
je $\sigma$-algebra.

\pr Definice m\'{\i}ry: Nech\softt{} $X$ je mno\v{z}ina a $\Cal A$
$\sigma$-algebra podmno\v{z}in $X$. \bf M\'{\i}ra \rm na $(X,\Cal A)$ je
zobrazen\'{\i} $\mu:\Cal A\to[0,\infty]$, kter\'e spl\v{n}uje:
\roster
\item $\mu(\emptyset)=0$;
\item Jsou-li $A_n\in \Cal A$ po dvou disjunktn\'{\i}, pak $\mu\left(
\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty
\mu(A_n)$.
\endroster

\pr P\v{r}\'{\i}klady: $X$ bu\softd{} libovoln\'a mno\v{z}ina a $\Cal A=\Cal P(X)$.

a) $\mu(A)=0$ pro $A\subset X$ je nulov\'a m\'{\i}ra.

b) $\mu(A)$ je po\v{c}et prvk\accent23u $A$ ($+\infty$ pro nekone\v{c}nou $A$) je
\it aritmetick\'a (s\v{c}\'{\i}tac\'{\i}) m\'{\i}ra.\rm

c) Nech\softt{} $x\in X$. Pak $\delta_x(A)=\cases 1 & x\in A \\ 0 &
x\notin A\endcases$ je \it Diracova m\'{\i}ra \rm nesen\'a bodem $x$.


\endgroup

\centerline{\smc ii. intervaly a borelovsk\'e mno\v{z}iny v $\Bbb R^k$}

\begingroup

\pr Intervaly: \bf Intervalem \rm v $\Bbb R^k$ rozum\'{\i}me mno\v{z}inu
tvaru $I=I_1\times\cdots\times I_k$, kde $I_1,\dots,I_k$ jsou
intervaly (libovoln\'eho typu) v $\Bbb R$. \bf Objemem \rm
intervalu $I$ (zna\v{c}\'{\i}me $\vol I$) rozum\'{\i}me jeho objem jako\v{z}to
kv\'adru, t.j. sou\v{c}in d\'elek interval\accent23u $I_1,\dots,I_k$. (Pokud je
aspo\v{n} jeden z t\v{e}chto interval\accent23u degenerovan\'y, je objem $0$, pokud
jsou v\v{s}echny nedegenerovan\'e a aspo\v{n} jeden je neomezen\'y, je objem
$+\infty$.)

\pr Otev\v{r}en\'e mno\v{z}iny: Mno\v{z}ina $M\subset \Bbb R^k$ je otev\v{r}en\'a,
pokud pro ka\v{z}d\'e $x\in M$ existuje $\delta>0$, \v{z}e
$B(x,\delta)\subset M$ (kde $B(x,\delta)$ je koule o st\v{r}edu $x$ a
polom\v{e}ru $\delta$).

\pr Ka\v{z}d\'a otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina v $\Bbb R^k$ je sjednocen\'{\i}m
posloupnosti po dvou disjunktn\'{\i}ch (polouzav\v{r}en\'ych) interval\accent23u.

\pr Borelovsk\'e mno\v{z}iny: Ozna\v{c}me symbolem $\Cal B^k$ nejmen\v{s}\'{\i}
$\sigma$-algebru obsahuj\'{\i}c\'{\i} otev\v{r}en\'e mno\v{z}iny v $\Bbb R^k$. Tato
$\sigma$-algebra se naz\'yv\'a \bf $\sigma$-algebra borelovsk\'ych mno\v{z}in.
\rm Dle p\v{r}edchoz\'{\i}ho bodu je to z\'arove\v{n} nejmen\v{s}\'{\i} $\sigma$-algebra
obsahuj\'{\i}c\'{\i} intervaly.

\endgroup

\centerline{\smc iii. vlastn\'{\i} konstrukce lebesgueovy m\'{\i}ry}

\begingroup

\pr Vn\v{e}j\v{s}\'{\i} m\'{\i}ra: Pro $A\subset \Bbb R^k$ libovolnou polo\v{z}me
$$\lambda^*(A)=\inf\left\{ \sn1 \vol I_n \mid I_n\text{ jsou intervaly
a }A\subset\bigcup\limits_{n=1}^\infty I_n\right\}.$$
Tuto mno\v{z}inovou funkci nazveme \bf vn\v{e}j\v{s}\'{\i} Lebesgueovou m\'{\i}rou\rm.

\pr Pozorov\'an\'{\i}: Definice $\lambda^*$ se nezm\v{e}n\'{\i}, budeme-li
uva\v{z}ovat pouze otev\v{r}en\'e intervaly; nebo pouze intervaly o hran\'ach
$\le\delta$ pro pevn\'e $\delta>0$. D\'ale je z\v{r}ejm\'e, \v{z}e
$\lambda^*(x+A)=\lambda^*(A)$ pro ka\v{z}d\'e $A\subset \Bbb R^k$ a
$x\in\Bbb R^k$.

\pr Monotonie a $\sigma$-subaditivita: Plat\'{\i}:
$$\gather
A\subset B\Rightarrow \lambda^*(A)\subset \lambda^*(B), \\
A\subset\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\Longrightarrow
\lambda^*(A)\le\sn1 \lambda^*(A_n).\endgather$$

\pr M\'{\i}ra intervalu: Je-li $I$ interval, pak $\lambda^*(I)=\vol
I$.

\pr $F_1$, $F_2$ disjunktn\'{\i} uzav\v{r}en\'e omezen\'e mno\v{z}iny
$\Longrightarrow$ $\lambda^*(F_1\cup
F_2)=\lambda^*(F_1)+\lambda^*(F_2)$.

\pr $F_1,F_2,\dots,F_n$ po dvou disjunktn\'{\i} uzav\v{r}en\'e omezen\'e mno\v{z}iny
$$\Longrightarrow \lambda^*(F_1\cup
\dots\cup F_n)=\lambda^*(F_1)+\dots+\lambda^*(F_n).$$

\pr $G$ otev\v{r}en\'a, $\varepsilon>0$ $\Longrightarrow$ existuje
$F\subset G$ uzav\v{r}en\'a, $\lambda^*(F)>\lambda^*(G)-\varepsilon$.

\pr Definice: Ozna\v{c}me $\Cal B_0^k$ syst\'em v\v{s}ech mno\v{z}in $A\subset \Bbb
R^k$, pro kter\'e pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon>0$ existuj\'{\i} $F\subset A$
uzav\v{r}en\'a a $G\supset A$ otev\v{r}en\'a, \v{z}e $\lambda^*(G\setminus
F)<\varepsilon$.

\pr $G$ omezen\'a otev\v{r}en\'a, $F\subset G$ uzav\v{r}en\'a $\Longrightarrow$
$\lambda^*(G\setminus F)=\lambda^*(G)- \lambda^*(F)$

\pr $\Cal B_0^k$ je uzav\v{r}en\'a na dopl\v{n}ky a kone\v{c}n\'e pr\accent23uniky.

\pr Krit\'erium m\v{e}\v{r}itelnosti: Nech\softt{} $A\subset \Bbb R^k$ je omezen\'a
a nech\softt{} pro ka\v{z}d\'e $\varepsilon >0$ existuje $F\subset A$
uzav\v{r}en\'a, \v{z}e $\lambda^*(F)>\lambda^*(A)-\varepsilon$. Pak
$A\in\Cal B_0^k$.

\pr Je-li $\lambda^*(A)=0$, pak $A\in \Cal B_0^k$. Ka\v{z}d\'y interval
pat\v{r}\'{\i} do $\Cal B_0^k$.

\pr Nech\softt{} $I$ je omezen\'y interval a $A_n\subset I$ jsou po dvou
disjunktn\'{\i} prvky $\Cal B_0^k$. Pak
$$A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty
A_n\in\Cal B_0^k\text{ a }\lambda^*(A)=\sn1 \lambda^*(A_n).$$

\pr Nech\softt{} $A_n\subset \Bbb R^k$ jsou po dvou
disjunktn\'{\i} prvky $\Cal B_0^k$. Pak $$A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty
A_n\in\Cal B_0^k\text{ a }\lambda^*(A)=\sn1 \lambda^*(A_n).$$

\pr Z\'av\v{e}r: $\Cal B_0^k$ je (nejmen\v{s}\'{\i}) $\sigma$-algebra obsahuj\'{\i}c\'{\i}
intervaly a nulov\'e mno\v{z}iny, $\lambda^k=\lambda^*\restriction \Cal
B_0^k$ je m\'{\i}ra, invariantn\'{\i} v\accent23u\v{c}i posunut\'{\i}, a nav\'{\i}c
$\lambda^k(I)=\vol I$ pro ka\v{z}d\'y interval. $\lambda^k$ se naz\'yv\'a
\bf $k$-rozm\v{e}rn\'a Lebesgueova m\'{\i}ra\rm.

\pr Pozn\'amky:

(i) $\lambda^k$ je sv\'ymi vlastnostmi v p\v{r}edchoz\'{\i}m bod\v{e}
jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}ena.

(ii) Existuje $B\subset [0,1]$ takov\'a, \v{z}e
$\lambda^*(B)=\lambda^*([0,1]\setminus B)=1$.

(iii) $\Cal B_0^k$ je ost\v{r}e v\v{e}t\v{s}\'{\i} ne\v{z} $\Cal B^k$.

\endgroup

\centerline{\smc iv. pozn\'amky o \'uplnosti m\'{\i}ry}

\begingroup

\pr Definice \'upln\'e m\'{\i}ry. Nech\softt{} $X$ je mno\v{z}ina, $\Cal A$
$\sigma$-algebra podmno\v{z}in $X$ a $\mu$ m\'{\i}ra na $(X,\Cal A)$.
\v{R}ekneme, \v{z}e $\mu$ je \'upln\'a, pokud plat\'{\i}: Jestli\v{z}e $A\in\Cal A$,
$\mu(A)=0$ a $B\subset A$, pak $B\in \Cal A$ (a ov\v{s}em
$\mu(B)=0$).

\pr Z\'upln\v{e}n\'{\i} m\'{\i}ry. Nech\softt{} $\mu$ je m\'{\i}ra na $(X,\Cal A)$. Nech\softt{}
$\Cal A_0$ je syst\'em t\v{e}ch mno\v{z}in $M\subset X$, pro kter\'e existuj\'{\i}
$A,B\in\Cal A$, \v{z}e $A\subset M\subset B$ a $\mu(B\setminus A)=0$.
Pro $M\in \Cal A_0$ polo\v{z}me $\mu_0(M)=\mu(A)$, kde $A$ je ta
mno\v{z}ina z definice. Pak $\Cal A_0$ je $\sigma$-algebra a
$\mu_0$ je \'upln\'a m\'{\i}ra na $(X,\Cal A_0)$.  Naz\'yv\'ame ji \bf
z\'upln\v{e}n\'{\i}m \rm m\'{\i}ry $\mu$.

\pr $\lambda^k \restriction \Cal B^k$ nen\'{\i} \'upln\'a, $\lambda^k$ je
jej\'{\i} z\'upln\v{e}n\'{\i}.


\endgroup}
\newpage
{\font\lfon=rsfs10
\def\ELL{\text{\lfon L}}
{
\centerline{\smc 2. Zkoumejte existenci a konvergenci Lebesgueov\'ych
integr\'al\accent23u}

\pr Zkoumejte $\int_0^\infty x^\alpha\d x$ pro $\alpha\in\Bbb R$.
Uka\v{z}te, \v{z}e a) $x^\alpha \in Z^R_{(0,\infty)}$, b) $x^\alpha \cdot
\chi_{(0,\infty)}\in Z^R_{\Bbb R}$,

c) $x^\alpha \cdot
\chi_{[0,\infty)}\notin Z^*_{\Bbb R}$, ale pat\v{r}\'{\i} do $\ELL^R_{\Bbb R}$.
Pro kter\'a $\alpha$ integr\'al konverguje?

\pr $\int_0^1 {\log(1+x)\over x}\d x$
\pr $\int_0^\pi {\d x\over \sqrt{\sin x}}$
\pr $\int_{-1}^3 {\d x\over \root 3\of x}$
\pr $\int_0^\infty {x^{a-1}\over 1+x} \d x$, $a\in\Bbb R$
\pr $\int_0^\infty {\sin x\over x^\alpha}$, $\alpha\in\Bbb R$

\pr $\int_0^\infty {x^\beta\over 1+x^\alpha\sin^2 x}\d x$,
$\alpha,\beta\in\Bbb R$
\pr Nech\softt{} $D$ je Dirichletova funkce, tj.
$D(x)=\cases 1 & x\in \Bbb Q\\ 0 & x\notin\Bbb Q\endcases$. Zkoumejte
a) $\int_0^1 D(x)\d x$, b) $\int_1^\infty D(x)\d x$, c) $\int_{-5}^5
(1-D(x)) \d x$, d) $\int_{-\infty}^5 D(x)-1 \d x$,

e) $\int_7^\infty
D(x)\cdot \cos x\d x$, f) $\int_{-\infty}^{-10} (D(x)-1)\sin x \d
x$.

\centerline{\smc Zkoumejte limity a mo\v{z}nost pou\v{z}it\'{\i} v\v{e}t o z\'am\v{e}n\v{e} limity
a integr\'alu}

\pr $\lp \int_0^1 {x^n\over n} \d x$
\pr $\lp \int_0^1 {nx\over 1+n^2x^2} \d x$
\pr $\lp \int_0^1 {x^n\over 1+x^{2n}} \d x$
\pr $\lp \int_0^\infty {x^n\over 1+x^{2n}} \d x$}
\oddel
@ \pr a),b) Uva\v{z}me $f_n(x)= x^\alpha$ na $[1+\frac1n,n]$, $0$ pro
$x\ge n+\frac12$ a $x\le 1$, line\'arn\'{\i} na meziintervalech.
c) Pokud $f\le x^\alpha$, $f\in Z$, pak $f(1)\ge0$, a neexistuje
$f\in Z$, $f\ge x^\alpha$.
Pro $\alpha <-1$ integr\'al konverguje (a je $-{1\over 1+\alpha}$),
pro $\alpha\ge-1$ diverguje (a je $+\infty$).
\pr Konverguje -- integrand je spojit\'y na $[0,1]$.
\pr Funkce je v $Z^R$, porovn\'an\'{\i}m s $\frac1{\sqrt x}$ u $0$
zjist\'{\i}me, \v{z}e konverguje.
\pr Nen\'{\i} v $Z^*$, z\v{r}ejm\v{e} je v $\Lambda$. Je v $Z^R_{(0,3)}$ a v
$Z^K_{(-1,0)}$, integr\'al konverguje, proto\v{z}e konverguj\'{\i}
$\int_{-1}^0$ a $\int_0^3$.
\pr Z\v{r}ejm\v{e} je v $Z^R$, rozd\v{e}lme na $\int_0^1$ a $\int_1^\infty$.
Konverguje, pr\'av\v{e} kdy\v{z} $a\in(1,2)$, jinak je $+\infty$.
\pr Nen\'{\i} v $Z^*$, je v $\Lambda$. Nejprve rozd\v{e}lme na $(0,\pi)$ a
$(\pi,\infty)$. $\int_0^\pi$ konverguje, pr\'av\v{e} kdy\v{z} $\alpha<2$,
jinak je $+\infty$. D\'ale zkoumejme $\int_\pi^\infty f^+$ a
$\int_\pi^\infty f^-$. Pro $\alpha>1$ oba konverguj\'{\i}, jinak jsou
oba $+\infty$. Tedy pro $\alpha>1$ $\int_1^\pi$ konverguje, jinak
neexistuje. Z\'av\v{e}r: Pro $\alpha\in(1,2)$ p\accent23uvodn\'{\i} integr\'al
konverguje (funkce pat\v{r}\'{\i} do $\ELL$), pro $\alpha\ge2$ je
$+\infty$ (funkce pat\v{r}\'{\i} do $\ELL^R\setminus\ELL$), pro
$\alpha\le1$ neexistuje (funkce je v $\Lambda\setminus\ELL^*$).
\pr Pat\v{r}\'{\i} do $Z^R$, konverguje pokud $\alpha\ge2(\beta+1)>0$ nebo
$1+\alpha<\beta<-1$.
\pr a) Nen\'{\i} v $Z^*$, je v $\ELL$, integr\'al je $0$.
 b) Nen\'{\i} v $Z^*$, z\v{r}ejm\v{e} je v $\ELL^R$, integr\'al je $0$, tedy je
v $\ELL$.
c) Nen\'{\i} v $Z^*$, je v $\ELL$, integr\'al je $5$.
d) Nen\'{\i} v $Z^*$, je v $\ELL^R$, integr\'al je $+\infty$.
 e) Nen\'{\i} v $Z^*$, z\v{r}ejm\v{e} je v $\Lambda$, integr\'al je $0$, tedy je
v $\ELL$.
 e) Nen\'{\i} v $Z^*$, z\v{r}ejm\v{e} je v $\Lambda$, integr\'al neexistuje,
nen\'{\i} v $\ELL^*$.
\pr $\int_0^1 f_n=\frac1{n(n+1)}\to0$ (jde to spo\v{c}\'{\i}tat),
$f_n\rightrightarrows 0$ na $[0,1]$ (lze pou\v{z}\'{\i}t v\v{e}ta o stejnom\v{e}rn\'e
konvergenci), $f_n\searrow0$ na $[0,1]$ (lze pou\v{z}\'{\i}t L\'eviho v\v{e}ta),
$|f_n|\le 1$ (lze pou\v{z}\'{\i}t Lebesgueova v\v{e}ta).
\pr $\int_0^1 f_n={\log(1+n^2)\over n}\to 0$ (jde to spo\v{c}\'{\i}tat),
$f_n \not\rightrightarrows $ na $[0,1]$, ani to nen\'{\i} monot\'onn\'{\i}
posloupnost, ale $|f_n|\le\frac12$ (lze pou\v{z}\'{\i}t Lebesgueova v\v{e}ta).
\pr $0\le f_n\le x^n$, $0\le \int_0^1 f_n\le \frac1n\to 0$ (jde
to odhadnout), $f_n\to 0$ na $(0,1)$ a $|f_n|\le 1$ (lze pou\v{z}\'{\i}t Lebesgueova
v\v{e}ta), $f_n\searrow 0$ na $(0,1)$ (lze pou\v{z}\'{\i}t L\'eviho v\v{e}ta),
stejnom\v{e}rn\v{e} nekonverguje.
\pr Na $(1,\infty)$:
$0\le f_n\le {1\over x^n}$, $0\le \int_1^\infty f_n\le{1\over
n-1}$ pro $n\ge2$ (lze to odhadnout), $f_n\searrow 0$ na
$(1,\infty)$, $\int_1^\infty f_2$ konverguje (lze pou\v{z}\'{\i}t L\'eviho
v\v{e}ta), $f_n\to 0$ na $(1,\infty)$ a $|f_n|\le f_2$ pro $n\ge 2$
(lze pou\v{z}\'{\i}t Lebesgueova v\v{e}ta).\par
}
\varoddel
{
\centerline{\smc 3. Fubiniova v\v{e}ta, integr\'aly z\'avisl\'e na
parametru}

\pr Spo\v{c}t\v{e}te $\iint\limits_M f(x,y)\d x\d y$, pokud
a) $M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid |x|+|y|=1\}$, $f(x,y)=x^2+y^2$;

b) $M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid 0\le x\le y\}$, $f(x,y)=e^{-(x+y)}$;
c) $M$ je omezen\'a osami a k\v{r}ivkou $\sqrt x+\sqrt y=1$,
$f(x,y)=xy$.
\pr Spo\v{c}t\v{e}te objemy t\v{e}les ohrani\v{c}en\'ych plochami
a) $z=1$ a $z^2=x^2+y^2$;
b) $z=1$ a $z=x^2+y^2$;
c) $z=0$, $x=1$, $x=3$, $y=2$, $y=3$ a $z=xy$;
d) $x^2+y^2=Rx$ a $x^2+y^2+z^2=R^2$ (kde $R>0$).
\pr Spo\v{c}t\v{e}te pomoc\'{\i} Fubiniovy v\v{e}ty:
a) $\int_0^\infty {\arctg ax-\arctg bx\over x}\d x$;

b) $\int_0^1 {x^b-x^a\over \log x}\d x$;
c) $\int_0^\infty {e^{-ax}-e^{-bx}\over x}\d x$;
d) $\int_0^\infty {\log(1+a^2x^2)-\log(1+b^2x^2)\over x^2}\d x$.
\pr Spo\v{c}t\v{e}te s vyu\v{z}it\'{\i}m v\v{e}ty o derivaci podle parametru:
a) $\int_0^\infty {1-e^{-ax}\over x e^x}\d x$;
b) $\int_0^\pi {\log(1+a\cos x)\over \cos x}\d x$.
\pr Vy\v{s}et\v{r}ete pr\accent23ub\v{e}h funkce
a) $F(a)=\int_1^\infty {\sin\frac1x\over x(x+a)^2}\d x$;
b) $F(a)=\int_0^1 \log(x^2+a^2)\d x$;
c) $F(a)=\int_0^1 {a^{x^2+1}\over x^2+1}$.
}

\newpage

@ \pr a) $\frac23$, b) $\frac12$, c) $\frac1{280}$.
\pr a) $\frac\pi3$, b) $\frac\pi2$, c) $10$, d) $\frac43
R^3(\frac\pi2-\frac23)$.
\pr a) $\frac\pi2\log\frac ab$, pokud $a,b>0$ nebo $a,b<0$, jinak
integr\'al diverguje;
b) $\log{a+1\over b+1}$ pro $a,b>-1$, $0$ pro $a=b$, jinak
nekonverguje;
c) $\log\frac ba$ pro $a,b>0$, $0$ pro $a=b$, jinak nekonverguje;
d) $\pi(a-b)$.
\pr a) $\log(a+1)$ pro $a>-1$; b) $\pi\arcsin a$ pro
$a\in[-1,1]$.
\pr a) Definov\'ana na $(-1,\infty)$, tam spojit\'a, klesaj\'{\i}c\'{\i},
konvexn\'{\i}, $\lim\limits_{a\to -1+} F(a)=+\infty$,
$\lim\limits_{a\to +\infty} F(a)=0$.
b) Definov\'ana na $\Bbb R$, spojit\'a a sud\'a, na $[0,\infty]$
rostouc\'{\i}, $\lim\limits_{a\to +\infty}=+\infty$, $F(0)=\log 2-1$.
c) Definov\'ano pro $a>0$, tam spojit\'e, rostouc\'{\i}, konvexn\'{\i},
$\lim\limits_{a\to 0+}F(a)=0$, $\lim\limits_{a\to +\infty}
F(a)=+\infty$, $\lim\limits_{a\to 0+}F'(a)=0$.
\par

\varoddel

{
\centerline{\smc 4. Komplexn\'{\i} \v{c}\'{\i}sla, analytick\'e funkce}

\pr Spo\v{c}t\v{e}te a) $(1+i)^{20}$, b) $(1-i)^7$, c) $(1+\sqrt
3i)^{-10}$.
\pr Najd\v{e}te v\v{s}echna komplexn\'{\i} \v{c}\'{\i}sla $z$, pro kter\'a plat\'{\i}
a) $z^4=1$, b) $z^4=-16$, c) $z^3=-1$, d) $z^4=-8-8\sqrt3 i$.

\pr Pro n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} funkce spo\v{c}t\v{e}te derivaci podle komplexn\'{\i}
prom\v{e}nn\'e ve v\v{s}ech bodech, kde existuje: a) $f(z)=\Re z$,
b) $f(z)=\Re(z^2)$, c) $f(z)=(\Re z)^2$, d) $f(z)=|z|^2$,
e) $f(z)=\Re z\cdot \Im z$, f) $f(z)=2\Re z\cdot\Im z + i|z|^2$.
\pr Ur\v{c}ete maxim\'aln\'{\i} oblast, na nich\v{z} je funkce analytick\'a:

a) $f(z)=3\Re z+\Im z+i(3\Im z-\Re z)$,
b) $f(z)=e^{-\Im z}\cdot e^{i\Re z}$,
c) $f(z)=\Re z\cdot\Im z+i\Im z$,
d) $f(z)=\sqrt{|z|} e^{\frac i2\Arg z}$,
e) $f(z)=\log|z|+i\Arg z$.

\pr V bodech d),e) p\v{r}edchoz\'{\i}ho p\v{r}\'{\i}kladu ur\v{c}ete (a nakreslete)
obor hodnot funkce $f$.

\pr Nech\softt{} $D$ je oblast v rovin\v{e}. Najd\v{e}te v\v{s}echny
funkce $f$ analytick\'e v oblasti $D$, kter\'e spl\v{n}uj\'{\i}

a) $f$ je re\'aln\'a, b) $\bar f$ je analytick\'a, c) $|f|$ je
konstantn\'{\i}, d) $\Re f$ je konstantn\'{\i}.}

\oddel

@ \pr a) $-1024$, b) $8(1+i)$, c) ${-1+\sqrt3i\over 2048}$.
\pr a) $1,i,-1,-i$, b) $\sqrt2(\pm2\pm i)$ ($4$ mo\v{z}nosti),
c) $-1$, $\frac12\pm \frac{\sqrt3}2i$,
d) $\pm(\sqrt3-i)$, $\pm(1+\sqrt3i)$.
\pr a) nikde, b) jen v $0$, tam $0$, c) jen pro $\Re z=0$, tam
$0$, d),e) jen v $0$, tam $0$, f) jen pro $\Re z=0$, tam $2\Im
z$.
\pr a) cel\'a rovina ($f(z)=(3-i)z$); b) cel\'a rovina;
c) $\emptyset$ (derivace existuje jen v bod\v{e} $i$, kde je $1$);
d),e) $\Bbb C\setminus\{z\in \Bbb C\mid z\le 0\}$.
\pr d) $\{z\in\Bbb C\mid \Re z>0\}$; e) $\{z\in \Bbb C\mid \Im
z\in(-\pi,\pi)\}$.
\pr Pouze konstantn\'{\i}: a),b),d) pou\v{z}ije CR podm\'{\i}nky; c) vyu\v{z}ijte b) a
toho, \v{z}e $\bar f={|f|^2\over f}$.  \par

\varoddel

{
\centerline{\smc 5. Komplexn\'{\i} \v{c}\'{\i}sla -- element\'arn\'{\i} funkce}

\pr Najd\v{e}te v\v{s}echna $z\in\Bbb C$, pro kter\'a plat\'{\i} a) $e^z=-2$, b)
$e^z=1+\sqrt3 i$, c) $e^{2z-1}=2$, d) $\cos z=2$, e) $\sin z=i$.
\pr Spo\v{c}t\v{e}te a) $\Log(-ei)$, b) $\Log(1-i)$.
\pr Jak\'y je vztah mezi mno\v{z}inami $\log(i^2)$ a $2\log i$? (Nebo
obecn\v{e}ji mezi $\log(z^2)$ a $2\log z$?)

\pr Vyj\'ad\v{r}ete $\Log(z_1z_2)$ pomoc\'{\i} $\Log z_1$ a $\Log z_2$. Kdy
plat\'{\i} $\Log(z_1z_2)=\Log z_1+\Log z_2$?

\pr Najd\v{e}te v\v{s}echny hodnoty a ur\v{c}ete hlavn\'{\i} hodnotu
a) $(1+i)^i$, b) $(-1)^{\frac1\pi}$, c) $i^i$, d) $(1-i)^{4i}$.
}

\oddel

@ \pr a) $\ln 2+(2k+1)\pi i$, $k\in\Bbb Z$,
b) $\ln 2 + i(\frac\pi3+2k\pi)$, $k\in\Bbb Z$,
c) $\frac12(\ln 2-1) + k\pi i$, $k\in\Bbb Z$,
d) $2k\pi + i \ln(2\pm\sqrt3)$, $k\in\Bbb Z$,
e) $(2k+1)\pi + i\ln(\sqrt2+1)$, $2k\pi+i\ln(\sqrt2-1)$, $k\in\Bbb
Z$.
\pr a) $1-i\frac\pi2$, b) $\ln2-i\frac\pi4$.
\pr $2\log z\subsetneq log(z^2)$.
\pr Nech\softt{} $z_1=r_1e^{i\phi_1}$, $z_2=r_2e^{i\phi_2}$, kde
$\phi_1,\phi_2\in(-\pi,\pi]$. Pak $\Log(z_1z_2)=\cases
\Log z_1 +\Log z_2 + 2\pi i & \phi_1+\pi_2\in (-2\pi,-\pi], \\
\Log z_1 +\Log z_2  & \phi_1+\pi_2\in (-\pi,\pi],  \\
\Log z_1 +\Log z_2 - 2\pi i & \phi_1+\pi_2\in (\pi,2\pi].
\endcases$ Speci\'aln\v{e}, pokud $\Re z_1>0$ a $\Re z_2>0$, pak
$\Log(z_1z_2)=\Log z_1 +\Log z_2$.
\pr a)
$\exp(-\frac\pi4-2k\pi)(\cos(\frac12\ln2)+i\sin(\frac12\ln2))$,
$k\in\Bbb Z$;
b) $\cos(2k+1)+i\sin(2k+1)$, $k\in\Bbb Z$;
c) $\exp(-\frac\pi4-2k\pi)$, $k\in\Bbb Z$;
d) $\exp(\pi-8k\pi)(\cos(2\ln2)+i\sin(2\ln2)$, $k\in\Bbb Z$.
Hlavn\'{\i} hodnoty jsou ve v\v{s}ech p\v{r}\'{\i}padech pro $k=0$.
\par

\newpage

{
\centerline{\smc 6. Integr\'aly a k\v{r}ivkov\'e integr\'aly komplexn\'{\i}ch funkc\'{\i}}

\pr Spo\v{c}t\v{e}te integr\'aly a) $\int_1^2(\frac1t-i)^2 \d t$,
b) $\int_0^{\frac\pi6} e^{2it} \d t$,
c) $\int_0^{+\infty} e^{-zt}\d t$, $z\in\Bbb C$,
d) $\int_0^\pi e^{(1+i)t}\d t$, vyu\v{z}ijte k vyj\'ad\v{r}en\'{\i} $\int_0^\pi
e^t\cos t\d t$ a $\int_0^\pi e^t\sin t\d t$.
\pr Spo\v{c}t\v{e}te k\v{r}ivkov\'e integr\'aly $\int_C f(z)\d z$, kde
a) $f(z)={z+2\over z}$, $C$ je i) polokru\v{z}nice $z=2e^{i\phi}$,
$\phi\in[0,\pi]$, ii) polokru\v{z}nice $z=2e^{i\phi}$,
$\phi\in[\pi,2\pi]$,

iii) kru\v{z}nice $z=2e^{i\phi}$, $\phi\in[0,2\pi]$;
b) $f(z)=z-1$, $C$ je i) \'use\v{c}ka $[0,2]$ na re\'aln\'e ose,
ii) polokru\v{z}nice od $0$ do $2$ (se st\v{r}edem v $1$, v doln\'{\i}
polorovin\v{e});
c) $f(z)=\pi e^{\pi\bar z}$, $C$ je obvod \v{c}tverce s vrcholy
$0$, $1$, $1+i$,~$i$.
\pr S vyu\v{z}it\'{\i}m primitivn\'{\i}ch funkc\'{\i} spo\v{c}t\v{e}te
a) $\int_C z^n\d z$, kde $C$ je jednotkov\'a kru\v{z}nice ob\'{\i}han\'a proti
sm\v{e}ru hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}ek a $n\in\Bbb Z$;
b) $\int_i^{\frac i2} e^{\pi z}\d z$, c) $\int_0^{\pi+2i}
\cos\frac z2\d z$, d) $\int_1^3 (z-1)^3\d z$, kde tyto integr\'aly
jsou p\v{r}es libovolnou k\v{r}ivku s uveden\'ymi krajn\'{\i}mi body.

\pr Spo\v{c}t\v{e}te $\int_0^\infty {\sin x\over x} \d x$ s vy\v{z}it\'{\i}m
Cauchyho v\v{e}ty.}

\varoddel

{
\centerline{\smc 7. \v{R}ady a Taylorovy \v{r}ady}

\pr Nech\softt{} $\lp z_n=z$. Co lze \v{r}\'{\i}ci o limit\'ach $\lp
\overline{z_n}$ a $\lp |z_n|$ ?
\pr Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady $\sn1 r^n\cos nt$ a $\sn1 r^n\sin nt$.
\pr Vyj\'ad\v{r}ete funkci $f$ mocninnou \v{r}adou o st\v{r}edu $z_0$ a ur\v{c}ete
kruh konvergence, pokud
a) $f(z)=e^z$, $z_0=1$;
b) $f(z)={z\over z^4+9}$, $z_0=0$;
c) $f(z)=\sin z^2$, $z_0=0$, spo\v{c}t\v{e}te $f^{(6)}(0)$,
$f^{(15)}(0)$;
d) $f(z)={1\over 1-z}$, $z_0=i$;
e) $f(z)=\cos z$, $z_0=\frac\pi2$;
f) $f(z)=\sinh z$, $z_0=\pi i$.
\pr Pro funkci $f(z)=\tgh z$ najd\v{e}te prvn\'{\i} dva nenulov\'e \v{c}leny
Maclaurinovy \v{r}ady a ur\v{c}ete kruh konvergence.}

\varoddel

{
\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo 3}

\pr Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_M f(x,y) \d x\d y$, kde $f(x,y)=e^{-2y-3x}$
a $M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid 0\le y\le 3x\}$ \par\ \hfill (15 bod\accent23u)
\vskip-5pt
\pr Vy\v{s}et\v{r}ete pr\accent23ub\v{e}h funkce $F(a)=\int_0^\infty {e^{-ax}\over 1+x^2}\d
x$, to jest:

a) Ur\v{c}ete defini\v{c}n\'{\i} obor. \hfill (3 body)

b) Uka\v{z}te, \v{z}e $F$ je spojit\'a t\'{\i}m, \v{z}e ov\v{e}\v{r}\'{\i}te p\v{r}edpoklady v\v{e}ty o
spojitosti podle parametru.       \hfill (6 bod\accent23u)

c) Spo\v{c}t\v{e}te derivaci $F$ pomoc\'{\i} v\v{e}ty o derivov\'an\'{\i} dle parametru, a
usu\softd{}te, jak je $F$ monot\'onn\'{\i}. \par\ \hfill (8 bod\accent23u)

d) Spo\v{c}t\v{e}te druhou derivaci $F$, a vyvo\softd{}te z\'av\v{e}ry o konvexit\v{e} ev.
konk\'avnosti $F$.              \hfill (8 bod\accent23u)

e) Spo\v{c}t\v{e}te limity $F$ v krajn\'{\i}ch bodech defini\v{c}n\'{\i}ho oboru, a tak\'e
jednostrann\'e derivace $F$ (pomoc\'{\i} vhodn\'ych v\v{e}t o limitn\'{\i}ch p\v{r}echodech).
\hfill (7 bod\accent23u)

f) Na\v{c}rtn\v{e}te graf funkce $F$. \hfill (3 body)

\pr Ur\v{c}ete v\v{s}echna komplexn\'{\i} \v{r}e\v{s}en\'{\i} rovnice $z^5=16\sqrt3+16i$.
\hfill (16 bod\accent23u)

\pr Uva\v{z}me komplexn\'{\i} funkci $f(x+iy)={x+i(2-|y+2|)\over x^2+y^2}$.

a) Ur\v{c}ete maxim\'aln\'{\i} oblast, kde je $f$ holomorfn\'{\i}. \hfill (17 bod\accent23u)

b) Spo\v{c}t\v{e}te $\int_C f(z)\d z$, kde $C$ je jednotkov\'a kru\v{z}nice se st\v{r}edem
v $0$ prob\'{\i}han\'a po sm\v{e}ru hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}ek.       \hfill (17 bod\accent23u)
}

\varoddel

{
\centerline{\smc 8. Laurentovy \v{r}ady}

\pr Rozve\softd{}te funkci $1\over 1+z$ v Laurentovu \v{r}adu na oblasti
$1<|z|<\infty$.

\pr Funkci $f$ rozvi\v{n}te v Laurentovy \v{r}ady o st\v{r}edu $z_0$ a ur\v{c}ete,
kde konverguj\'{\i}.
a) $f(z)={z+1\over z-1}$, $z_0=0$;
b) $f(z)={z\over(z-1)(z-3)}$, $z_0=1$;
c) $f(z)={1\over z(1+z^2)}$, $z_0=0$;
d) $f(z)=\exp(z+\frac1z)$, $z_0=0$.

\pr S pou\v{z}it\'{\i}m derivov\'an\'{\i} nebo integrov\'an\'{\i} \v{r}ad rozvi\v{n}te
funkci $f$ v Taylorovu nebo Laurentovu \v{r}adu o st\v{r}edu $z_0$.
a) $f(z)={1\over(1-z)^2}$, $z_0=0$;
b) $f(z)={1\over(1-z)^3}$, $z_0=0$;
c) $f(z)=\frac1{z^2}$, $z_0=1$ (nejprve vyj\'ad\v{r}ete $\frac1z$);
d) $f(z)=\Log(1+z)$, $z_0=0$;
\pr Pomoc\'{\i} \v{r}ad ur\v{c}ete oblast holomorfnosti (spojit\v{e}
dodefinovan\'ych) funkc\'{\i}
a) $f(z)= {e^{cz}-1\over z}$ ($c\in\Bbb C$);
b) $f(z)={\Log z\over z-1}$;
c) $f(z)={\cos z-1\over z^2}$;
d)~$f(z)={z\over\sin z}$.
\pr Najd\v{e}te n\v{e}kolik (3 a\v{z} 4) prvn\'{\i}ch \v{c}len\accent23u Laurentovy \v{r}ady funkce
$f$ na uveden\'e oblasti.
a) $f(z)={e^z\over z(1+z^2)}$, $0<|z|<1$;
b) $f(z)={1\over \sin z}$, $0<|z|<\pi$;
c) $f(z)={1\over e^z-1}$, $0<|z|<2\pi$.
}

\newpage

{
\centerline{\smc 9. P\'oly, rezidua, reziduov\'a v\v{e}ta}

\pr Ur\v{c}ete povahu singularit funkc\'{\i} a ur\v{c}ete hlavn\'{\i} \v{c}\'ast
p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'e Laurentovy \v{r}ady.
a) $z\exp(\frac1z)$;

b) ${z^2\over 1+z}$; c) $\sin z\over z$;
d) $\cos z\over z$; e) $1\over(2-z)^3$.
\pr Uka\v{z}te, \v{z}e singularity n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}ch funkc\'{\i} jsou p\'oly, ur\v{c}ete
jejich stupe\v{n} a p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'e reziduum.
a) $1-\cosh z\over z^3$; b) $1-e^{2z}\over z^4$;
c) $e^{2z}\over(2-z)^3$; d) $\tgh z$; e) $z\over\cos z$;
f) $e^z\over z^2+\pi^2$;

g) $z^{\frac14}\over z+1$ ($|z|>0$,
$0<\arg z<2\pi$).
\pr Najd\v{e}te rezidua n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}ch funkc\'{\i} v bod\v{e} $0$.
a) $1\over z+z^2$;

b) $z\cos\frac1z$; c) ${z-\sin z\over z}$;
d) $\cotg z\over z^4$; e) $\sinh z\over z^4(1-z^2)$.
\pr Pomoc\'{\i} reziduov\'e v\v{e}ty spo\v{c}t\v{e}te $\int_C f(z)\d z$, pokud
a) $f(z)={e^{-z}\over z^2}$, $C$ je kru\v{z}nice $|z|=2$;
b) $f(z)=z^2\exp\frac1z$, $C$ je kru\v{z}nice $|z|=1$;
c) $f(z)={z+1\over z^2-2z}$, $C$ je  kru\v{z}nice (i) $|z|=1$, (ii)
$|z|=3$;
d) $f(z)=\exp(z+\frac1z)$, $C$ je kru\v{z}nice $|z|=1$.
\pr Pomoc\'{\i} reziduov\'e v\v{e}ty spo\v{c}t\v{e}te re\'aln\'e integr\'aly.
a) $\int_0^\infty {1\over x^2+1}\d x$;
b) $\int_0^\infty {1\over (x^2+1)^2}\d x$;
c) $\int_0^\infty {x^2\over (x^2+9)(x^2+4)^2}\d x$;
d) $\int_0^\infty {1\over x^4+1}\d x$;
e)  $\int_0^\infty {\cos ax\over x^2+1}\d x$ ($a\ge0$);
f)  $\int_0^\infty {x^3\sin ax\over x^4+4}\d x$ ($a>0$);
g) $\int_0^\infty {x^3\sin x\over (x^2+1)(x^2+9)}\d x$.
}

\end