XI. Určete y′ a y′′ v bodech, v jejichž okolí je uvedenou rovnicí zadána diferencovatelná funkce y = y(x)

1. x^{2} + 2xy − y^{2} = a^{2} a ∈ ℝ 2. log \sqrt{x^{2} + y^{2}} = arctg \frac{y}{x} 3. y − ε siny = x 0 < ε < 1

4. x^{y} = y^{x} 5. y = 2x arctg \frac{y}{x} Zjistěte, v okolí kterých bodů je následujícím předpisem zadána diferencovatelná

funkce z = z(x, y) a najděte její parciální derivace prvního a druhého řádu

6. \frac{x}{z} = log ^{\underline{z}} y 7. xyz = x + y + z 8. F (x + y + z, x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 0 (\frac{∂^{2} z}{∂x∂y}) (F je třídy C^{2})

9. F (xz, yz) = 0 (\frac{∂^{2} z}{∂x^{2}}) (F je třídy C^{2})

10. Dokažte, že existují funkce u = u(x, y) a v = v(x, y), pro které platí u(1, 2) = v(1, 2) = 0, a které na nějakém okolí bodu (1, 2) splňují rovnice xe^{u+v} + 2uv = 1, ye^{u−v} − \frac{u}{1+v} = 2x a jsou tam třídy C^{1}. Spočtěte jejich diferenciál v bodě (1, 2).

11. Necht’ M = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} − 1 = 0, x^{2} + y^{2} − x = 0}. Najděte a ∈ M, aby P = M \ {a} byla jednorozměrná plocha třídy C^{1}.

12. Vyšetřete extrémy funkce z zadané implicitně. (a) x^{2} + y^{2} + z^{2} − 2x + 2y − 4z − 10 = 0

(b) x^{2} + y^{2} + z^{2} − xz − yz + 2x + 2y + 2z − 2 = 0 (c) (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} + y^{2} − z^{2}) Výsledky a návody. 1. y′ = \frac{y+x}{y−x}, (x, y) ≠ (\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}), (\frac{−a}{\sqrt{2}}, \frac{−a}{\sqrt{2}}) 2. y′ = \frac{x+y}{x−y}, (x, y) ≠

(\sqrt{2}e^{\frac{π}{4}}, \sqrt{2}e^{\frac{π}{4}}), (−\sqrt{2}e^{\frac{π}{4}}, −\sqrt{2}e^{\frac{π}{4}}) 3. y′ = \frac{1}{1−ε cos y} 4. y′ = \frac{y}{x} · \frac{x log y+y}{y log x+x} , (x, y) ≠ (e, e) 5.

y′ = \frac{y}{x} 6. \frac{∂z}{∂x} = \frac{z}{z+x} , \frac{∂z}{∂y} = \frac{z^{2}}{y(x+z)} s výjimkou bodů (−\frac{y}{e} , y, \frac{y}{e}) 7. \frac{∂z}{∂x} = \frac{1−yz}{xy−1}, \frac{∂z}{∂y} =

\frac{1−xz}{xy−1} 8. \frac{∂^{2} z}{∂x∂y} = \frac{(z−x)(z−y)(∂_{11} F ·(∂_{2} F)^{2} −2∂_{12} F ·∂_{1} F ·∂_{2} F +∂_{22} F ·(∂_{1} F)^{2}) +2∂_{2} F ·(∂_{1} F +2x∂_{2} F)·(∂_{1} F +2y∂_{2} F)}{(∂_{1} F +2z∂_{2} F) ^{3}} ,

(∂_{1}F + 2z∂_{2}F) ≠ 0  9.  \frac{∂^{2} z}{∂x∂y} = \frac{zy(∂_{11} F ·(∂_{2} F)^{2} −2∂_{12} F ·∂_{1} F ·∂_{2} F +∂_{22} F ·(∂_{1} F)^{2}) +2z^{2} (∂_{1} F)^{2}}{(x∂_{1} F +y∂_{2} F) ^{3}} ,

(x∂_{1}F + y∂_{2}F) ≠ 0 10. \frac{∂u}{∂x} = 0, \frac{∂u}{∂y} = −1, \frac{∂v}{∂x} = −1, \frac{∂v}{∂y} = 1 11. (1, 0, 0)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

XII. Implicitní funkce a geometrie

1. Necht’ x_{0} je jednonásobný kořen rovnice x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n} = 0. Dokažte, že existují ε > 0 a δ > 0 takové, že kdykoli |b_{i} − a_{i}| < δ pro i = 1, …, n, pak rovnice x^{n} + b_{1}x^{n−1} + ⋯ + b_{n} = 0 má v intervalu (x_{0} − ε, x_{0} + ε) právě jeden kořen. Spočtěte \frac{∂x}{∂a_{i}} (a_{1}, …, a_{n}).

2. Najděte rovnice tečny a normálové roviny k parametricky zadaným křivkám

(a) x = a cosα cost, y = a sinα cost, z = a sint v bodě t = t_{0},

(b) x = a sin^{2} t, y = b sint cost, z = c cos^{2} t v bodě t = \frac{π}{4}.

3. Najděte rovnice tečny a normálové roviny k implicitně zadaným křivkám

(a) x^{2} + z^{2} = 10, y^{2} + z^{2} = 10 v bodě (1, 1, 3), (b) x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6, x + y + z = 0 v bodě (1, −2, 1).

4. Najděte rovnice tečné roviny a normály k plochám

(a) z = x^{2} + y^{2} v bodě (1, 2, 5), (b) z = y + log \frac{x}{z} v bodě (1, 1, 1), (c) 2^{\frac{x}{z}} + 2^{\frac{y}{z}} = 8 v bodě (2, 2, 1),

(d) x = u cosv, y = u sinv, z = av v bodě (u_{0}, v_{0}).

5. Najděte rovnici tečné a normálové roviny k ploše e^{\frac{u}{x}} cos \frac{v}{y} = \frac{x}{\sqrt{2}}, e^{\frac{u}{x}} sin \frac{v}{y} = \frac{y}{\sqrt{2}} v bodě (1, 1, 0, \frac{π}{4}).

Výsledky a návody. 1. \frac{∂x}{∂a_{i}} = −\frac{x_{0}^{n−i}}{nx_{0}^{n−1} +(n−1)a_{1} x_{0}^{n−2} +···+a_{n−1}} 2. (a) tečna: x sinα−y cosα = 0, y cost_{0} + z sinα sint_{0} = a sinα, normálová rovina: x cosα sint_{0} + y sinα sint_{0} − z cost_{0} = 0, pokud a ≠ 0. (b) tečna: y = \frac{b}{2}, xc + za = ac, normálová rovina: ax − cz = \frac{a^{2} −c^{2}}{2} , pokud ac ≠ 0. 3.

(a) tečna: x + y = 2, y + z = 4, normálová rovina: x − y + z = 3. (b) tečna: x − 2y + z = 6, x + y + z = 0, normálová rovina: x − z = 0. 4. (a) tečná rovina: z = 2x + 4y − 5, normála: 2x+y = 4, 4x−8y +5z = 13. (b) tečná rovina: x−y +2z = 2, normála: x+y = 2, −x+y +z = 1.

(c) tečná rovina: x + y − 4z = 0, normála: x − y = 0, 2x + 2y + z = 9. (d) tečná rovina: ax sinv_{0} − ay cosv_{0}+u_{0}z = au_{0}v_{0}, normála: x cosv_{0}+y sinv_{0} = u_{0}, −xu_{0} sinv_{0}+yu_{0} cosv_{0}+az = av_{0}, pokud a ≠ 0 nebo u_{0} ≠ 0. 5. tečná rovina: −x+ \frac{π}{4} ·y+u−v = −1, − (\frac{π}{4} + 1) y+u+v = −1, normálová

rovina: 2y + u + (1 + \frac{π}{2}) v = 2 + \frac{π}{4} + \frac{π^{2}}{8} , − (\frac{π^{2}}{4} + π + 6) x + \frac{π}{2}y + (\frac{π^{2}}{8} + \frac{3}{4}π + 3) u − (\frac{π}{4} + 3) v =

−\frac{5}{16} π^{2} + \frac{3}{4}π + 6.

XIII. Ještě implicitní funkce a geometrie

1. Spočtěte \frac{∂^{2} z}{∂x∂y} ţv bodě u = 2, v = 1�, jestliže x = u + v^{2}, y = u^{2} − v^{3}, z = 2uv.

2. Na ploše x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + 2xy + 2xz + 4yz = 8 najděte body, v nichž je tečná rovina rovnoběžná s některou ze souřadnicových rovin.

3. Najděte tečné roviny k ploše x^{2} +2y^{2} +3z^{2} = 1, které jsou rovnoběžné s rovinou x+4y +6z = 0.

4. Dokažte, že tečné roviny k ploše \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = \sqrt{a} (a > 0) určují na osách úseky s konstantním součtem délek.

Najděte křivku, která je společnou tečnou systému křivek

(t.j. každý jejíž bod leží na některé křivce ze systému, a jejíž tečna v tomto bodě splývá s tečnou oné křivky ze systému)

5. x cosα + y sinα = p, p = const, α ∈ ℝ 6. (x − a)^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}a^{2}, a ∈ ℝ 7. y = kx + \frac{a}{k}, a = const, k ≠ 0 8. y^{2} = 2px + p^{2}, p ∈ ℝ 9. Pro úsečky délky l, jejichž konce jsou na osách.

10. Pro elipsy \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 s konstantním obsahem S.

Najděte plochu, která je společnou tečnou k systému ploch.

11. Pro systém sfér o poloměru r se středy na kružnici x = R cost, y = R sint, z = 0 (R > r).

12. Pro elipsoidy \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 s konstantním objemem V.

13. Pro roviny z − z_{0} = p(x − x_{0}) + q(y − y_{0}), kde x_{0}, y_{0}, z_{0} jsou konstanty a p^{2} + q^{2} = 1. Výsledky a návody. 1. \frac{26}{121} 2. (0, \sqrt{8}, −\sqrt{8}), (0, −\sqrt{8}, \sqrt{8}), (2, −4, 2), (−2, 4, −2), (−4, 2, 0), (4, −2, 0) 3. x + 4y + 6z = \sqrt{21}, x + 4y + 6z = −\sqrt{21} 4. Součet je a. Návod k dalším příkladům: Necht’ F je hladká funkce a pro každé α ∈ (a, b) je rovnicí F (x, y, α) = 0 určena hladká křivka. Pak společná tečna x = x(α), y = y(α) musí splňovat F (x, y, α) = 0 a \frac{∂F}{∂α} (x, y, α) = 0. Analogicky pro plochy. 5. x^{2} + y^{2} = p^{2} 6. y = x, y = −x 7. y^{2} = 4ax pro a ≠ 0

8. Neexistuje 9. x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = l^{\frac{2}{3}} 10. |xy| = \frac{S}{2π} 11. (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} 12.

|xyz| = \frac{V}{4\sqrt{3}π} 13. (x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2} = (z − z_{0})^{2}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

XIV. V následujících úlohách zjistěte sup inf funkce f na množině M a vyšetřete, zda těchto hodnot f na M nabývá.

1. f (x, y, z) = x − 2y + 2z, a) M = {(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}, b) M = {(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = 0}

2. f (x, y, z) = xyz, a) M = {(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}, b) M = {(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = 0}

3. f (x, y, z) = sinx siny sinz, M = \{(x, y, z); x + y + z = \frac{π}{2}, x > 0, y > 0, z > 0\}

4. f (x, y, z) = xy^{2}z^{3}, M = {(x, y, z); x + 2y + 3z = a, x > 0, y > 0}, kde a > 0.

5. f (x_{1}, …, x_{n}) = x_{1}^{p} + ⋯ + x_{n}^{p}; M = {(x_{1}, …, x_{n}); x_{1} + ⋯ + x_{n} = a, x_{1} > 0, …, x_{n} > 0}; kde a > 0, p > 0. 6. f (x, y) = x + y, M = {(x, y); x^{3} + y^{3} − 2xy = 0, x ≥ 0, y ≥ 0}

7. f(x, y, z) = 10z + x − y, M = \{(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, y + x ≥ 0\} 8. f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},

M = \{(x, y), \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{y^{2}} = 1\} 9. f(x, y) = y, M = \{(x, y), (x^{2} + y^{2}) ^{2} = Kxy\}, kde K > 0

10. Necht’ M = {(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = x}. Dokažte, že funkce f(x, y, z) = x + y + z nebývá maxima na M v bodě (x_{0}, y_{0}, z_{0}), kde z_{0} je algebraické číslo.

11. Necht’ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} je reálná symetrická matice. Vyšetřete extrémy kvadratické formy Q(x) = (Ax, x) na jednotkové sféře, a odvod’te odsud, že A má alespoň jedno vlastní číslo.

12. Pomocí věty o multiplikátorech dokažte:

a) nerovnost \frac{x^{n}+y^{n}}{2} ≥ (\frac{x+y}{2} )^{n}, kde n ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0;

b) nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem;

c) Hölderovu nerovnost: ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} ≤ (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} · (∑_{i=1}^{n} b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}, kde a_{i}, b_{i} ≥ 0, p > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1;

d) Hadamardovu nerovnost: (det(a_{ij}))^{2} ≤ ∏_{i=1}^{n} ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}^{2})

Výsledky a návody. 1. a) max 3 v (\frac{1}{3}, −\frac{2}{3}, \frac{2}{3}), min −3 v (−\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, −\frac{2}{3}); b) max \sqrt{\frac{26}{3}} v

(\frac{2}{\sqrt{78}} , −\frac{7}{\sqrt{78}} , \frac{5}{\sqrt{78}} ), min −\sqrt{\frac{26}{3}} v (−\frac{2}{\sqrt{78}} , \frac{7}{\sqrt{78}} , −\frac{5}{\sqrt{78}} ); 2. a) max \frac{1}{3\sqrt{3}} v bodech (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (−\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}), (−\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}); min −\frac{1}{3\sqrt{3}} v bodech (−\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}), (−\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}); b) max \frac{1}{3\sqrt{6}} v bodech (\frac{2}{\sqrt{6}}, −\frac{1}{\sqrt{6}}, −\frac{1}{\sqrt{6}}), (−\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, −\frac{1}{\sqrt{6}}), (−\frac{1}{\sqrt{6}}, −\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}); min −\frac{1}{3\sqrt{6}} v bodech (−\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}), (\frac{1}{\sqrt{6}}, −\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}), (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, −\frac{2}{\sqrt{6}}); 3. max \frac{1}{8} v (\frac{π}{6}, \frac{π}{6}, \frac{π}{6}), inf

0, nenabývá se 4. max \frac{a^{6}}{6^{6}} v (\frac{a}{6}, \frac{a}{6}, \frac{a}{6}), inf −∞ 5. pro p = 1 je f na M konstantní; pro p > 1 je sup a^{p}, nenabývá se, min \frac{a^{p}}{n^{p−1}} v (\frac{a}{n}, …, \frac{a}{n}); pro p ∈ (0, 1) je inf a^{p}, nenabývá se, max \frac{a^{p}}{n^{p−1}} v (\frac{a}{n}, …, \frac{a}{n}); 6. max 2 v (1, 1), min 0 v (0,0) 7. max \sqrt{102} v (\frac{1}{\sqrt{102}} , −\frac{1}{\sqrt{102}} , \frac{10}{\sqrt{102}} ;

min −\sqrt{102} v (−\frac{1}{\sqrt{102}} , \frac{1}{\sqrt{102}} , −\frac{10}{\sqrt{102}} ; 8. max \frac{\sqrt{5}}{2} v (\frac{\sqrt{5}}{2}, 2\sqrt{5}); min −\frac{\sqrt{5}}{2} v (−\frac{\sqrt{5}}{2}, −2\sqrt{5}); 9.

max \frac{1}{4} \sqrt{k} · 15^{\frac{3}{4}} v (\frac{1}{4} \sqrt{k}\sqrt[4]{15}, \frac{1}{4} \sqrt{k} · 15^{\frac{3}{4}} ); min −\frac{1}{4} \sqrt{k} · 15^{\frac{3}{4}} v (−\frac{1}{4} \sqrt{k}\sqrt[4]{15}, −\frac{1}{4} \sqrt{k} · 15^{\frac{3}{4}} ); 10. Dokažte, že maximum se nabývá, a že třetí souřadnice příslušného bodu je kořenem vhodného polynomu. 11. max je λ_{max} , t.j. největší vlastní číslo matice A, a nabývá se ve všech vlastních vektorech jemu příslušných; min je λ_{min} , t.j. nejmenší vlastní číslo matice A, a nabývá se ve všech vlastních vektorech jemu příslušných; 12. a) použijte příklad 5, ev. vyšetřete minimum funkce \frac{x^{n}+y^{n}}{2} na množině \{(x, y), x + y = c, x ≥ 0, y ≥ 0\} pro c > 0; b) zkoumejte extrémy funkce \sqrt[n]{x_{1} · . . . · x_{n}} na množině \{(x_{1}, …, x_{n}), x_{1}+⋯+x_{n} = c, x_{1} ≥ 0, …, x_{n} ≥ 0\} pro c > 0; c) zkoume-

jte extrémy funkce f(a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} na množině {(a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n}), ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{p} =

A, ∑_{i=1}^{n} b_{i}^{p} = B, a_{i} ≥ 0, b_{i} ≥ 0} pro A, B > 0, a dokažte, že maximum je v bodech, kde b_{i}^{q} = ca_{i}^{p}

pro vhodné c a všechna i; d) zkoumejte extrémy funkce (det(a_{ij}))^{2} (n^{2} proměnných) na množině

{(a_{ij}), ∑_{j=1}^{n} a_{ij}^{2} = S_{i}, i = 1, …, n}, kde S_{i} > 0, převed’te na případ S_{i} = 1, a pak dokažte, že

maximum se nabývá pro ortogonální matice.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

XV. Řešte soustavy diferenciálních rovnic

1. z′ + y = 0, z′ − y′ = 3z + y 2. z′ + z − y = e^{x}, y′ − z + y = e^{x} 3. 5z′ − 2y′ + 4z − y = e^{−x}, z′ + 8z − 3y = 5e^{−x} 4. z′ + 3z + y = 0, y′ − z + y = 0, y(0) = z(0) = 1 5. z′ = y − 7z, y′ + 2z + 5y = 0 6. z′ = 2y − 5z + e^{x}, y′ = z − 6y + e^{−2x} 7. z′′ + y′ + z = e^{x}, z′ + y′′ = 1

8. u′ = w + v − u, v′ = w + u − v, w′ = u + v + w, (u(0) = 1, v(0) = w(0) = 0) 9. u′ = v + w, v′ = u + w, w′ = u + v, (u(0) = −1, v(0) = 1, z(0) = 0) Výsledky a návody. 1. z = \frac{3B−A}{4}e^{x} + \frac{A+B}{4} e^{−3x}, y = \frac{A−3B}{4} e^{x} + \frac{3A+3B}{4} e^{−3x} 2. z = e^{x} + de^{−4x} + c, y = e^{x} − de^{−4x} + c 3. z = −2e^{−x} + ce^{x} + de^{−2x}, y = 3e^{−x} + 3ce^{x} + 2de^{−2x}

4. z = −(c + d)xe^{−2x} + de^{−2x}, y = (c + d)xe^{−2x} + ce^{−2x}, s poč. podm. : z = −2xe^{−2x} + e^{−2x}, y = 2xe^{−2x} + e^{−2x} 5. z = (c − d)e^{−6x} sinx + de^{−6x} cosx, y = ce^{−6x} cosx + (c − 2d)e^{−6x} sinx

6. z = \frac{7}{40} e^{x} + \frac{1}{5}e^{−2x} + \frac{2}{3}(c + d)e^{−4x} − \frac{1}{3}(2c − d)e^{−7x}, y = \frac{1}{40} e^{x} + \frac{3}{10} e^{−2x} + \frac{1}{3}(c + d)e^{−4x} + \frac{1}{3}(2c − d)e^{−7x} 7. z(x) = e^{x} − \frac{1}{6}x^{3} − \frac{b+c}{2} x^{2} + c + dx, y = −e^{x} + \frac{1}{24} x^{4} + a + bx + \frac{b+c}{6} x^{3} + \frac{d}{2}x^{2} 8. u = \frac{a+b−c}{3} e^{−x}+ \frac{a+b+2c}{6} e^{2x}+ \frac{a−b}{2}e^{−2x}, v = \frac{a+b−c}{3} e^{−x}+ \frac{a+b+2c}{6} e^{2x}+ \frac{b−a}{2}e^{−2x}, w = \frac{c−a−b}{3}e^{−x}+ \frac{a+b+2c}{3} e^{2x}, s poč.podm. u = \frac{1}{3}e^{−x} + \frac{1}{6}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{−2x}, v = \frac{1}{3}e^{−x} + \frac{1}{6}e^{2x} − \frac{1}{2}e^{−2x}, w = −\frac{1}{3}e^{−x} + \frac{1}{3}e^{2x} 9. u = \frac{a+b+c}{3} e^{2x} − \frac{b+c−2a}{3} e^{−x}, v = \frac{a+b+c}{3} e^{2x} − \frac{a+c−2b}{3} e^{−x}, w = \frac{a+b+c}{3} e^{2x} − \frac{a+b−2c}{3} e^{−x} s poč. podm. u = −e^{−x}, v = e^{−x}, w = 0

XVI. Diferenciální rovnice

1. Ukažte (na příkladu), že věta o spojité závislosti řešení (lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty) neplatí na neomezeném intervalu (např. [0, ∞)).

2. Necht’ f : [0, ∞) × ℝ^{n} → ℝ^{n} je třídy C^{1} a existují konstanty M, A > 0 takové, že ∥f(t, u)∥ ≤ A+M∥u∥ platí pro všechna t ≥ 0 a u ∈ ℝ^{n}. Dokažte, že potom pro libovolnou počáteční podmínku y(0) = y_{0} existuje maximální řešení rovnice y′ = f(y, t) splňující počáteční podmínku a definované na celém [0, ∞).

3. Uvažujme rovnici y′ = Ay, kde A je čtvercová matice. Určete, za jakých podmínek na vlastní čísla matice A platí:

(a) Každé řešení má v +∞ limitu 0 (t.j. 0 je stabilní řešení).

(b) Existuje nenulové periodické řešení.

(c) Každé řešení je periodické. *4. Uvažujme rovnici y′ = Ay + g(y), kde A je čtvercová matice a g : ℝ^{n} → ℝ^{n} je funkce třídy C^{1}, která je u nuly ţvelmi malá�ve smyslu, že g(0) = 0 a g′(0) = 0. Co lze říci o stabilitě nulového řešení (použijte i předchozí příklad)?

5. Uvažujme rovnici y′′ = f(y). Nalezněte funkci F : ℝ^{2} → ℝ takovou, že pro každé řešení y naší rovnice je F (y(t), y′(t)) konstantní. (y(t) může znamenat výchylku hmotného bodu v čase t, f(y(t)) pak sílu působící na něj v čase t, a rovnice F (y(t), y′(t)) = c pak znamená zákon zachování energie.)

6. Aplikujte předchozí příklad na rovnici kyvadla y′′ = siny.

7. Uvažujme rovnici y′′ + αy′ + y = 0. Vyšetřete rozdíl v chování jejích řešení pro α = 0 a α > 0. Ukažte, že pro α > 0 energie systému (ve smyslu předminulého příkladu) s časem klesá (a tedy α má význam tření). Výsledky a návody. 1. Např. rovnice y′ = y. Pak pro dvě různá řešení y_{1}, y_{2} je sup_{t≥0}|y_{1}(t) −

y_{2}(t)| = +∞ 2. Použijte větu o existenci maximálního řešení, Gronwallovo lemma a ţvětu o opouštění kompaktu�. 3. (a) Reλ < 0 pro každé vlastní číslo λ. (b) Reλ = 0 pro nějaké vlastní číslo λ, pro které existuje vlastní vektor v takový, že (λI − A)u = v nemá řešení, t.j. jedna z Jordanových buněk příslušných k λ je 1×1 (chceme-li nekonstantní, pak navíc λ ≠ 0). (c) Reλ = 0 pro každé vlastní číslo a navíc existuje báze z vlastních vektorů. 4. 5. F (u, v) = \frac{1}{2}v^{2} − g(u), kde g je primitivní funkce k f. 6. \frac{1}{2}(y′)^{2} + cosy = const 7. Pro α = 0 jsou řešení periodická, pro α > 0 mají v +∞ limitu 0.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/3 – první verze

1. Položme F (x, y) = x^{x} − y^{y} pro x > 0 a y > 0.

(a) Dokažte, že existuje právě jedno a ∈ (0, \frac{1}{2}), pro které platí F (a, \frac{1}{2}) = 0. (5 bodů)

(b) Dokažte, že množina \{(x, y) | F (x, y) = 0\} je v okolí bodu (a, \frac{1}{2}) grafem nějaké hladké funkce y = f(x) splňující f(a) = \frac{1}{2}. (7 bodů)

(c) Rozhodněte, zda je funkce f na nějakém okolí bodu a rostoucí ev. klesající. (6 bodů) Řešení. (a) Položme g(x) = F (x, \frac{1}{2}) = x^{x} − (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} . Pak g je funkce spojitá na (0, ∞) a přitom

g(\frac{1}{2}) = 0 a lim_{x→0+} g(x) = lim_{x→0+} (e^{x log x} − (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} ) = 1 − (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} > 0. Dále g′(x) = x^{x}(logx + 1), tedy

g je klesající na (0, \frac{1}{e}) a rostoucí na (\frac{1}{e}, ∞). Protože \frac{1}{e} < \frac{1}{2}, dostáváme g(x) < 0 pro x ∈ [\frac{1}{e}, \frac{1}{2}), a tedy existuje jediné a ∈ (0, \frac{1}{e}) splňující g(a) = 0, což je totéž, co F (a, \frac{1}{2}) = 0.

(b) Použijeme větu o implicitních funkcích. Ověřme její předpoklady. Funkce F je zřejmě třídy C^{∞} na (0, , ∞) × (0, ∞), F (a, \frac{1}{2}) = 0 z volby a, a

\frac{∂F}{∂y} (a, \frac{1}{2}) = (−y^{y}(logy + 1)) _{\begin{matrix}x=a \\ y= \frac{1}{2} \end{matrix}} = − (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} (log \frac{1}{2} + 1) ≠ 0.

Nyní už tvrzení plyne okamžitě z věty o implicitních funkcích.

(c) Funkce f z (b) splňuje na okolí bodu a rovnici x^{x} − f(x)^{f(x)} = 0, zderivujeme-li tuto rovnost, dostaneme

x^{x}(logx + 1) − f(x)^{f(x)}(logf(x) · f′(x) + f′(x)) = 0,

neboli

f′(x) = \frac{x^{x}(logx + 1)}{f(x)^{f(x)}(logf(x) + 1)} = \frac{logx + 1}{logf(x) + 1} .

Pro poslední rovnost jsme použili, že x^{x} = f(x)^{f(x)} díky volbě f. Tedy f′(a) = \frac{log a+1}{log \frac{1}{2} +1} . Přitom

log \frac{1}{2} + 1 > 0, nebot’ \frac{1}{2} > \frac{1}{e}, zatímco loga + 1 < 0, nebot’ a < \frac{1}{e} (viz (a)). Tedy f′(a) < 0, a protože f je C^{1}, je f′ spojitá, a tedy f′ < 0 na nějakém okolí bodu a. Na tomto okolí je pak f klesající.

2. Určete supremum a infimum funkce f(x, y) = x + y^{2} na množině M = \{(x, y) | x^{2} + y < \frac{3}{4}, y ≥ −\frac{1}{4}\} a zjistěte, zda f těchto hodnot na M nabývá. (16 bodů) Řešení. Funkce f je spojitá, dokonce C^{∞} na celém ℝ^{2}. Množina M je omezená, nebot’ pro (x, y) ∈ M nutně platí −\frac{1}{4} ≤ y < \frac{3}{4} a x^{2} < 1. Tedy \overline{M} je kompaktní, a f nabývá extrémů na \overline{M}. Hledejme podezřelé body. Protože \frac{∂f}{∂x} = 1 ≠ 0, ve vnitřku žádné podezřelé body nejsou. Zbývá vyšetřit hranici. Ta sestává ze dvou částí, z úsečky y = −\frac{1}{4}, x ∈ [−1, 1] a části paraboly x^{2}+y = \frac{3}{4}, y ≥ −\frac{1}{4}. Na zmíněné úsečce máme f(x, −\frac{1}{4}) = x + \frac{1}{16} , což je největší pro x = 1 a nejmenší pro x = −1, přitom f(1, −\frac{1}{4}) = \frac{17}{16} a f(−1, −\frac{1}{4}) = −\frac{15}{16} . Nyní vyšetřeme chování f na parabole x^{2}+y = \frac{3}{4}. Protože gradient funkce x^{2}+y− \frac{3}{4} je (2x, 1), což nikdy není nulový vektor, podle věty o multiplikátorech dostáváme, že, je-li v (x, y) lokální extrém vzhledem k naší parabole, pak existuje λ ∈ ℝ, že 1 + λ · 2x = 0 a 2y + λ = 0, tedy 1 − 4xy = 0, neboli y = \frac{1}{4x}. Pokud takový bod leží na naší parabole, platí x^{2} + \frac{1}{4x} = \frac{3}{4}, neboli 4x^{3} − 3x + 1 = 0. Tato rovnice má kořen x = −1 a dvojnásobný kořen x = \frac{1}{2}. Pro x = −1 dostáváme y = −\frac{1}{4}, kterýžto bod už mezi podezřelými body máme. Pro x = \frac{1}{2} dostáváme y = \frac{1}{2} a f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}. Ještě bychom měli zařadit druhý krajní bod (1, −\frac{1}{4}), ale ten již mezi podezřelými body je. Tedy zřejmě f nabývá na \overline{M} maxima \frac{17}{16} v bodě (1, −\frac{1}{4}) a minima −\frac{15}{16} v bodě (−1, −\frac{1}{4}). Tato čísla jsou zároveň supremem a infimem funkce f na M, ale f na M těchto hodnot nenabývá.

3. Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic y′ + z = 2y, z′ + 2z = 3y. Určete množiny S = {(a, b) ∈ ℝ^{2} | y(0) = a, z(0) = b, (y, z) je řešením ⇒ lim_{x→+∞} y(x) = lim_{x→+∞} z(x) = 0} a

U = {(a, b) ∈ ℝ^{2} | y(0) = a, z(0) = b, (y, z) je řešením ⇒ lim_{x→−∞} y(x) = lim_{x→−∞} z(x) = 0}.

(16 bodů)

Řešení. Tato soustava má matici ( \begin{matrix}2 & −1 \\ 3 & −2 \end{matrix}). Spočtěme její vlastní čísla:

det( \begin{matrix}λ − 2 & 1 \\ −3 & λ + 2 \end{matrix} ) = λ^{2} − 4 + 3 = λ^{2} − 1 = (λ − 1)(λ + 1),

tedy vlastní čísla jsou 1 a −1. Vlastní vektor k číslu 1 je například ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) a k číslu −1 například

( \begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix}). Tedy substitucí y = u + v, z = u + 3v dostaneme soustavu u′ = u, v′ = −v, jejíž řešení

má tvar u = ce^{x}, v = de^{−x}, a tak původní soustava má řešení y = ce^{x} + de^{−x}, z = ce^{x} + 3de^{−x}, kde c, d ∈ ℝ. Přitom zřejmě lim_{x→+∞} y(x) = lim_{x→+∞} z(x) = 0, právě když c = 0; a lim_{x→−∞} y(x) =

lim_{x→−∞} z(x) = 0, právě když d = 0. Navíc c = \frac{3y(0)−z(0)}{2} a d = \frac{z(0)−y(0)}{2} , tedy S = \{(a, b) | b = 3a\}

a U = {(a, b) | a = b}.

Test číslo II/3 – druhá verze

1. Položme F (x, y) = x^{x} − y^{y} pro x > 0 a y > 0.

(a) Dokažte, že existuje právě jedno b ∈ (\frac{1}{3}, 1), pro které platí F (\frac{1}{3}, b) = 0. (5 bodů)

(b) Dokažte, že množina \{(x, y) | F (x, y) = 0\} je v okolí bodu (\frac{1}{3}, b) grafem nějaké hladké funkce x = f(y) splňující f(b) = \frac{1}{3}. (7 bodů)

(c) Rozhodněte, zda je funkce f na nějakém okolí bodu b rostoucí ev. klesající. (6 bodů) Řešení. (a) Položme h(y) = F (\frac{1}{3}, y) a postupujme analogicky jako v první verzi. h je spojitá, h(\frac{1}{3}) = 0, h(1) < 0, h roste na (0, \frac{1}{e}) a klesá na (\frac{1}{e}, ∞), přičemž \frac{1}{3} < \frac{1}{e} < 1, tedy existuje jediné b dle zadání, navíc b ∈ (\frac{1}{e}, 1).

(b) Jako v první verzi: F je C^{∞}, F (\frac{1}{3}, b) = 0, \frac{∂F}{∂x} (\frac{1}{3}, b) = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (log \frac{1}{3} + 1) ≠ 0.

(c) Stejně jako v první verzi spočteme, že f′(a) = \frac{log b+1}{log \frac{1}{3} +1} , tentokrát logb + 1 > 0 a log \frac{1}{3} > 0, tedy f je klesající na okolí b.

2. Určete supremum a infimum funkce f(x, y) = x^{2} + y na množině M = \{(x, y) | x + y^{2} < \frac{3}{4}, x ≥ 0\} a zjistěte, zda f těchto hodnot na M nabývá. (16 bodů) Řešení. Podobně jako v první verzi M je omezená, a tedy \overline{M} je kompaktní. Protože \frac{∂f}{∂y} = 1, nejsou extrémy uvnitř, zbývá hranice. Hranice je tvořena opět úsečkou a částí paraboly. Na parabole najdeme opět podezřelé body (−\frac{1}{4}, 1) a (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), ten první neleží v \overline{M}, pro druhý platí f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}. Úsečka má tvar x = 0, y ∈ [−\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}], f(0, y) = y, tedy největší hodnota je v (0, \frac{\sqrt{3}}{2}) a nejmenší v (0, −\frac{\sqrt{3}}{2}). Tedy supremum je \frac{\sqrt{3}}{2} a infimum −\frac{\sqrt{3}}{2}, přičemž žádné z těchto hodnot f na M nenabývá.

3. Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic y′ + y = 4z, z′ − 2y = z. Určete množiny S = {(a, b) ∈ ℝ^{2} | y(0) = a, z(0) = b, (y, z) je řešením ⇒ lim_{x→+∞} y(x) = lim_{x→+∞} z(x) = 0} a

U = {(a, b) ∈ ℝ^{2} | y(0) = a, z(0) = b, (y, z) je řešením ⇒ lim_{x→−∞} y(x) = lim_{x→−∞} z(x) = 0}.

(16 bodů)

Řešení. Tato soustava má matici ( \begin{matrix}−1 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix}). Spočtěme její vlastní čísla:

det( \begin{matrix}λ + 1 & −4 \\ −2 & λ − 1 \end{matrix}) = λ^{2} − 1 − 8 = λ^{2} − 9 = (λ − 3)(λ + 3),

tedy vlastní čísla jsou 3 a −3. Vlastní vektor k číslu 3 je například ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) a k číslu −3 například

( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix}). Tedy substitucí y = u + 2v, z = u − v dostaneme soustavu u′ = 3u, v′ = −3v, jejíž

řešení má tvar u = ce^{3x}, v = de^{−3x}, a tak původní soustava má řešení y = ce^{3x} + 2de^{−3x}, z = ce^{3x} − de^{−3x}, kde c, d ∈ ℝ. Přitom zřejmě lim_{x→+∞} y(x) = lim_{x→+∞} z(x) = 0, právě když c = 0;

a lim_{x→−∞} y(x) = lim_{x→−∞} z(x) = 0, právě když d = 0. Navíc c = \frac{y(0)+2z(0)}{3} a d = \frac{y(0)−z(0)}{3} , tedy

S = {(a, b) | a = −2b} a U = {(a, b) | a = b}.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

XVII. Najděte všechna maximální řešení diferenciálních rovnic

1. y′′ + 4y′ + 4y = 0 2. y′′ − 3y′ + 2y = 0 3. y′′ − 6y′ + 13 = 0 4. y′′ − 2y′ − 3y = e^{4x}

5. y′′ − 2y′ + 2y = cosx 6. y′′′ − y′′ − 2y′ = e^{2x} + x^{3} + 3x^{2} + 1 7. y′′ + 3y′ + 2y = sinx + sin2x

8. 4y′′′ + y′ = 3e^{x} + 2 sin \frac{x}{2} 9. y′′ − 3y′ + 2y = \frac{e^{2x}}{\sqrt{1−e^{2x}}} 10. y′′ − y = \frac{e^{x}−e^{−x}}{e^{x}+e^{−x}}

11. y′′ − 2y′ + y = \frac{e^{x}}{x^{2} +x+1} 12. y′′ + y = tgx 13. y′′ − 2y′ + y = \frac{e^{x}}{\sqrt{4−x^{2}}}

XVIII. Trigonometrické a Fourierovy řady

1. (a) Sečtěte trigonometrickou řadu ∑_{n=0}^{∞} \frac{cos nx}{n!}. (b) Spočtěte ∫ \frac{5}{2} π_{\frac{π}{2}} e^{cos x} cos(sinx) cosnx dx (n =

0, 1, 2, …)

2. Sečtěte trigonometrickou řadu ∑_{n=1}^{∞} q^{n} sinnx, kde 0 < q < 1. Je tato řada Fourierovou řadou

svého součtu?

3. Pro následující funkce najděte trigonometrickou řadu, jejímž jsou součtem, a výsledek aplikujte v uvedených bodech. (a) x^{2} na (−π, π), x = 0; (b) x na (−π, π), x = \frac{π}{2};

(c) sinax na (−π, π) (a ∈ ℝ \ ℤ), x = \frac{π}{2}; (d) x^{2} na (0, 2π), x = 0.

4. (a) Napište funkci f(x) = x na (0, π) jako součet cosinové řady.

(b) Napište funkci f(x) = x^{2} na (−π, 0) jako součet sinové řady.

5. Dokažte, že pro |x| < 1 platí sinπx = πx · ∏_{n=1}^{∞} (1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} ). (Rozviňte ve Fourierovu řadu funkci

cosαx na (−π, π), aplikujte pro x = π, vyjádřete cotgαπ − \frac{1}{απ} a výslednou rovnost integrujte.)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/4 – první verze

1. Najděte všechna maximální řešení diferenciální rovnice y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = sinx + sin2x (18 bodů)

Řešení. Charakteristický polynom této rovnice je

λ^{3} − λ^{2} + 4λ − 4 = (λ^{2} + 4)(λ − 1),

tedy má tři různé kořeny 1, 2i, −2i, tudíž fundamentální systém homogenní rovnice tvoří funkce e^{x}, cos2x, sin2x. Pravá strana je součtem dvou kvazipolynomů (sinx a sin2x), a tedy hledejme partikulární řešení y_{1} rovnice y′′′−y′′+4y′−4y = sinx a partikulární řešení y_{2} rovnice y′′′−y′′+4y′− 4y = sin2x. Protože i není kořenem charakteristického polynomu, má y_{1} tvar y_{1} = a cosx + b sinx pro nějaké konstanty a, b. Pak platí

y_{1} = a cosx + b sinx, y′_{1} = −a sinx + b cosx,
y′′_{1} = −a cosx − b sinx, y′′′_{1} = a sinx − b cosx,

a tedy

y′′′_{1}−y′′_{1}+4y′_{1} −4y_{1} = (−b+a+4b−4a) cosx+(a+b−4a−4b) sinx = 3(b−a) cosx−3(a+b) sinx,

odkud dostáváme

3(b − a) = 0, −3(a + b) = 1, neboli a = b = −\frac{1}{6}.

Protože 2i je kořenem charakteristického polynomu násobnosti 1, má y_{2} tvar y_{2} = x · (c cos2x + d sin2x) pro nějaké konstanty c, d. Pak platí:

y_{2} = x(c cos 2x + d sin 2x),  y′_{2} = x(−2c sin 2x + 2d cos 2x) + (c cos 2x + d sin 2x),
y′′_{2} = x(−4c cos 2x − 4d sin 2x) + 2(−2c sin 2x + 2d cos 2x),  y′′′_{2} = x(8c sin 2x − 8d cos 2x) + 3(−4c cos 2x − 4d sin 2x),

a tedy

y′′′_{2}−y′′_{2}+4y′_{2}−4y_{2} = (−12c−4d+4c) cos2x+(−12d+4c+4d) sin2x = −4(2c+d) cos2x+4(c−2d) sin2x,

odkud dostáváme

−4(2c + d) = 0, 4(c − 2d) = 1, neboli d = −\frac{1}{10}, c = \frac{1}{20}.

Obecné řešení naší rovnice má tedy tvar

y = \frac{x}{20}(cos2x − 2 sin2x) − \frac{1}{6}(sinx + cosx) + Ae^{x} + B cos2x + C sin2x, A, B, C ∈ ℝ.

2. Sečtěte řadu ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} cos 3(n+ \frac{1}{2} )x}{(2n+1)!} . (14 bodů)

Řešení. Platí cos3(n + \frac{1}{2})x = Ree^{3(n+ \frac{1}{2} )ix} , a tedy můžeme psát

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} cos3(n + \frac{1}{2})x}{(2n + 1)!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} Ree^{3(n+ \frac{1}{2} )ix}}{(2n + 1)!} = Re ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}e^{3(n+ \frac{1}{2} )ix}}{(2n + 1)!}

= Re ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} (e^{\frac{3}{2} ix})^{2n+1}}{(2n + 1)!} = Resin(e^{\frac{3}{2} ix}) = Resin(cos \frac{3}{2}x + i sin \frac{3}{2}x)

= Re(sin(cos \frac{3}{2}x) cos(i sin \frac{3}{2}x) + cos(cos \frac{3}{2}x) sin(i sin \frac{3}{2}x))

= Re(sin(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} + e^{sin \frac{3}{2} x}}{2} + cos(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} − e^{sin ^{\frac{3}{2}}}}{2i} )

= sin(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} + e^{sin \frac{3}{2} x}}{2}

Použili jsme rozvoj funkce sin v mocninnou řadu a vzorečky sinz = \frac{e^{iz}−e^{−iz}}{2i}, cosz = \frac{e^{iz}+e^{−iz}}{2} , které platí pro všechna komplexní z.

3. Položme f(x) = cos^{3} x + sgn(x − 1).

(a) Rozviňte f ve Fourierovu řadu na intervalu (−π, π). (10 bodů)

(b) Určete součet řady z (a) všude, kde řada konverguje. (8 bodů) Řešení. (a) Z definice Fourierových koeficientů je zřejmé, že Fourierovy koeficienty funkce f jsou součtem Fourierových koeficientů funkcí cos^{3} x a sgn(x − 1). Nejprve se věnujme první funkci. Podle goniometrických vzorečků platí

cos^{3} x = cosx · \frac{cos2x − 1}{2} = −\frac{1}{2} cosx + \frac{1}{2} cosx · cos2x
= −\frac{1}{2} cosx + \frac{1}{4}(cos3x + cosx) = −\frac{1}{4} cosx + \frac{1}{4} cos3x,

což je zároveň rozvoj funkce cos^{3} x ve Fourierovu řadu (výraz vpravo je konečná (a tedy např. stejnoměrně konvergentní) trigonometrická řada, a proto je Fourierovou řadou svého součtu). Dále počítejme koeficienty a′_{n}, b′_{n} funkce sgn(x − 1).

a′_{0} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x − 1) dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{1} −1 dx + ∫_{1}^{π} 1 dx) = \frac{1}{π} (−(1 + π) + (π − 1)) = −\frac{2}{π}
a′_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x − 1) cosnx dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{1} − cosnx dx + ∫_{1}^{π} cosnx dx)

= \frac{1}{π} ([−\frac{sinnx}{n}]_{−π}^{1} + [\frac{sinnx}{n}]_{1}^{π}) = \frac{1}{π} (−\frac{sinn}{n} − \frac{sinn}{n}) = −\frac{2 sinn}{nπ} pro n ≥ 1

b′_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x − 1) sinnx dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{1} − sinnx dx + ∫_{1}^{π} sinnx dx)

= \frac{1}{π} ([\frac{cosnx}{n}]_{−π}^{1} + [−\frac{cosnx}{n}]_{1}^{π}) = \frac{1}{π} (\frac{cosn}{n} − \frac{(−1)^{n}}{n} − \frac{(−1)^{n}}{n} + \frac{cosn}{n})

= \frac{2(cosn − (−1)^{n})}{nπ} pro n ≥ 1

Tedy Fourierova řada funkce f má tvar:

− \frac{1}{π} − (\frac{2}{π} sin1 + \frac{1}{4}) cosx + \frac{2}{π} (cos1 + 1) sinx − \frac{1}{π} sin2 cos2x + \frac{1}{π} (cos2 − 1) sin2x

−(\frac{2}{3π} sin3 − \frac{1}{4})cos3x+ \frac{2}{3π}(cos3+1) sin3x+∑_{n=4}^{∞}(−\frac{2 sinn cosnx}{nπ} + \frac{2(cosn − (−1)^{n}) sinnx}{nπ})

(b) Součet Fourierovy řady funkce cos^{3} x je zase cos^{3} x, protože tato řada je konečná (tedy je to vlastně trigonometrický polynom). Dále si všimněme funkce sgn(x−1). Pokud x ∈ (−π, 1)∪(1, π), je na okolí bodu x funkce sgn(x − 1) konstantní, a tedy spojitá a navíc má konečnou variaci (je dokonce monotónní), a proto podle Jordan-Dirichletova kritéria Fourierova řada konverguje k funkční hodnotě. V bodech 1 a π lze rovněž použít Jordan-Dirichletovo kritérium, funkce je na okolí monotónní (a tedy má konečnou variaci), a proto součtem Fourierovy řady je aritmetický průměr limity zleva a limity zprava, což je v obou případech 0 (v bodě 1 je to zřejmé, v bodě π se počítají limity funkce periodicky dodefinované). Protože součet Fourierovy řady je funkce 2π-periodická, plyne z řečeného, že Fourierova řada má součet v každém bodě, a tento se rovná

\begin{matrix}cos^{3} x + sgn(x − 2kπ − 1), & x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ ℤ \\ −1, & x = (2k + 1)π, k ∈ ℤ \end{matrix}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/4 – druhá verze

1. Najděte všechna maximální řešení diferenciální rovnice y′′′ + y′′ + 4y′ + 4y = cosx + cos2x (18 bodů)

Řešení. Charakteristický polynom této rovnice je

λ^{3} + λ^{2} + 4λ + 4 = (λ^{2} + 4)(λ + 1),

tedy má tři různé kořeny −1, 2i, −2i, tudíž fundamentální systém homogenní rovnice tvoří funkce e^{−x}, cos2x, sin2x. Pravá strana je součtem dvou kvazipolynomů (cosx a cos2x), a tedy hledejme partikulární řešení y_{1} rovnice y′′′+y′′+4y′+4y = cosx a partikulární řešení y_{2} rovnice y′′′+y′′+4y′+ 4y = cos2x. Protože i není kořenem charakteristického polynomu, má y_{1} tvar y_{1} = a cosx + b sinx pro nějaké konstanty a, b. Pak platí

y_{1} = a cosx + b sinx, y′_{1} = −a sinx + b cosx,
y′′_{1} = −a cosx − b sinx, y′′′_{1} = a sinx − b cosx,

a tedy

y′′′_{1}+y′′_{1}+4y′_{1} +4y_{1} = (−b−a+4b+4a) cosx+(a−b−4a+4b) sinx = 3(b+a) cosx+3(b−a) sinx,

odkud dostáváme

3(b + a) = 1, 3(b − a) = 0, neboli a = b = \frac{1}{6}.

Protože 2i je kořenem charakteristického polynomu násobnosti 1, má y_{2} tvar y_{2} = x · (c cos2x + d sin2x) pro nějaké konstanty c, d. Pak platí:

y_{2} = x(c cos 2x + d sin 2x),  y′_{2} = x(−2c sin 2x + 2d cos 2x) + (c cos 2x + d sin 2x),
y′′_{2} = x(−4c cos 2x − 4d sin 2x) + 2(−2c sin 2x + 2d cos 2x),  y′′′_{2} = x(8c sin 2x − 8d cos 2x) + 3(−4c cos 2x − 4d sin 2x),

a tedy

y′′′_{2}−y′′_{2}+4y′_{2}−4y_{2} = (−12c+4d+4c) cos2x+(−12d−4c+4d) sin2x = −4(2c−d) cos2x−4(c+2d) sin2x, odkud dostáváme

−4(2c − d) = 1, −4(c + 2d) = 0, neboli d = \frac{1}{20}, c = −\frac{1}{10}.

Obecné řešení naší rovnice má tedy tvar

y = \frac{x}{20}(sin2x − 2 cos2x) + \frac{1}{6}(sinx + cosx) + Ae^{−x} + B cos2x + C sin2x, A, B, C ∈ ℝ.

2. Sečtěte řadu ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin 3nx}{(2n)!} . (14 bodů)

Řešení. Platí sin3nx = Ime^{3nix}, a tedy můžeme psát

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin3nx}{(2n)!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} Ime^{3nix}}{(2n)!} = Im ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}e^{3nix}}{(2n)!} = Im ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} (e^{\frac{3}{2} ix})^{2n}}{(2n)!}

= Imcos(e^{\frac{3}{2} ix}) = Imcos(cos \frac{3}{2}x + i sin \frac{3}{2}x)

= Im(cos(cos \frac{3}{2}x) cos(i sin \frac{3}{2}x) − sin(cos \frac{3}{2}x) sin(i sin \frac{3}{2}x))

= Im(cos(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} + e^{sin \frac{3}{2} x}}{2} − sin(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} − e^{sin \frac{3}{2} x}}{2i})

= sin(cos \frac{3}{2}x) · \frac{e^{− sin \frac{3}{2} x} − e^{sin \frac{3}{2} x}}{2}

Použili jsme rozvoj funkce cos v mocninnou řadu a vzorečky sinz = \frac{e^{iz}−e^{−iz}}{2i}, cosz = \frac{e^{iz}+e^{−iz}}{2} , které platí pro všechna komplexní z.

3. Položme f(x) = sin^{3} x − sgn(x + 1).

(a) Rozviňte f ve Fourierovu řadu na intervalu (−π, π). (10 bodů)

(b) Určete součet řady z (a) všude, kde řada konverguje. (8 bodů) Řešení. (a) Z definice Fourierových koeficientů je zřejmé, že Fourierovy koeficienty funkce f jsou rozdílem Fourierových koeficientů funkcí sin^{3} x a sgn(x + 1). Nejprve se věnujme první funkci. Podle goniometrických vzorečků platí

sin^{3} x = sinx · \frac{1 − cos2x}{2} = \frac{1}{2} sinx − \frac{1}{2} sinx · cos2x
= \frac{1}{2} sinx − \frac{1}{4}(sin3x − sinx) = \frac{3}{4} sinx − \frac{1}{4} sin3x,

což je zároveň rozvoj funkce sin^{3} x ve Fourierovu řadu (výraz vpravo je konečná (a tedy např. stejnoměrně konvergentní) trigonometrická řada, a proto je Fourierovou řadou svého součtu). Dále počítejme koeficienty a′_{n}, b′_{n} funkce sgn(x + 1).

a′_{0} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x + 1) dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{−1} −1 dx + ∫_{−1}^{π} 1 dx) = \frac{1}{π} (−(−1 + π) + (π + 1)) = \frac{2}{π}
a′_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x + 1) cosnx dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{−1} − cosnx dx + ∫_{−1}^{π} cosnx dx)

= \frac{1}{π} ([−\frac{sinnx}{n}]_{−π}^{−1} + [\frac{sinnx}{n}]_{−1}^{π}) = \frac{1}{π} (−\frac{sin(−n)}{n} − \frac{sin(−n)}{n}) = \frac{2 sinn}{nπ} pro n ≥ 1

b′_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sgn(x + 1) sinnx dx = \frac{1}{π} · (∫_{−π}^{−1} − sinnx dx + ∫_{−1}^{π} sinnx dx)

= \frac{1}{π} ([\frac{cosnx}{n}]_{−π}^{−1} + [−\frac{cosnx}{n}]_{−1}^{π}) = \frac{1}{π} (\frac{cos(−n)}{n} − \frac{(−1)^{n}}{n} − \frac{(−1)^{n}}{n} + \frac{cos(−n)}{n})

= \frac{2(cosn − (−1)^{n})}{nπ} pro n ≥ 1

Tedy Fourierova řada funkce f má tvar:

− \frac{1}{π} − \frac{2}{π} sin1 cosx + (\frac{3}{4} − \frac{2}{π} (cos1 + 1)) sinx − \frac{1}{π} sin2 cos2x − \frac{1}{π} (cos2 − 1) sin2x

− \frac{2}{3π} sin3 cos3x + (\frac{1}{4} − \frac{2}{3π}(cos3 + 1)) sin3x − ∑_{n=4}^{∞}(\frac{2 sinn cosnx}{nπ} + \frac{2(cosn − (−1)^{n}) sinnx}{nπ})

(b) Ze stejných důvodů jako v první verzi dostaneme, že Fourierova řada konverguje ve všech bodech a má součet

\begin{matrix}sin^{3} x − sgn(x − 2kπ + 1), & x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ ℤ \\ 0, & x = (2k + 1)π, k ∈ ℤ \end{matrix}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

XIX. Ještě trigonometrické a Fourierovy řady

1. Rozviňte následující funkce ve Fourierovu řadu na intervalu (−π, π) a určete součet, všude, kde

řada konverguje. (a) cos^{2m} x, (b) \frac{sin mx}{sin x}, (c) ∑_{m=1}^{∞} α^{m} \frac{sin mx}{sin x}, kde |α| < 1, (d) \frac{1}{sin x}.

2. Je trigonometrická řada ∑_{n=2}^{∞} \frac{sin nx}{log n} Fourierovou řadou nějaké funkce (např. svého součtu)?

3. Pro následující funkce určete, v kterých bodech konverguje jejich Fourierova řada, a jaký má součet.

(a) sgnsin100x, (b) sin \frac{1}{x}, x ∈ (−π, π), (c) dist(x, C), x ∈ (0, 2π), kde C je Cantorovo diskontinuum.

4. Sečtěte řady ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{2} nα}{n^{2}}, ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos^{2} nα}{n^{2}}. (Použijte Parsevalovu rovnost pro χ_{[−α,α]}, |α| ≤ π.)