I. Zjistěte, zda (X, ρ) je metrický prostor, pokud

1. X je libovolná množina, ρ(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & x ≠ y \\ 0 & x = y \end{matrix} . 2. X = ℝ^{n}, ρ(x, y) = ∑_{k=1}^{n} |x_{k} − y_{k}|^{p}, kde

p ∈ (0, 1). 3. X = ℝ^{2}, ρ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = (|x_{1} − y_{1}|^{p} + |x_{2} − y_{2}|^{p}) ^{\frac{1}{p}}, kde p ∈ (0, 1).

4. X je prostor omezených spojitých funkcí na intervalu I ⊂ ℝ (t.j. X = C_{b}(I)), ρ(f, g) = sup_{x∈I} |f(x) − f(y)|. Kdy můžeme napsat max místo sup ?

5. X = C[0, 1], a) ρ(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(x) − g(x)|dx; b) ρ(f, g) = | ∫_{0}^{1} f(x) − g(x)dx|.

6. X = {(x_{n}) | limx_{n} = 0}, ρ(x, y) = max_{n∈ℕ} |x_{n} − y_{n}| (a dokažte, že maximum existuje).

7. Necht’ (X, ρ) je metrický prostor a f : X → X zobrazení. Definujme σ(x, y) = ρ(f(x), f(y)). Dokažte, že (X, σ) je metrický prostor.

8. Necht’ (X, ρ) je metrický prostor, f : [0, ∞) → [0, ∞) je funkce a σ(x, y) = f(ρ(x, y)). Za jakých podmínek na f je σ metrika na X? Co když f(x) = \frac{x}{1+x} (nebo f(x) = min(1, x)) ?

9. Řekneme, že ρ je pseudometrika na X, pokud pro každé x, y, z ∈ X platí ρ(x, x) = 0, ρ(x, y) = ρ(y, x), ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Necht’ na množině X máme posloupnost pseudometrik ρ_{n}, n ∈ ℕ. Položme

a) ρ(x, y) = sup_{n∈ℕ} ρ_{n}(x, y) b) ρ(x, y) = sup_{n∈ℕ} \frac{ρ_{n}(x,y)}{ρ_{n}(x,y)+1}

c) ρ(x, y) = sup_{n∈ℕ} \frac{1}{2^{n}} \frac{ρ_{n}(x,y)}{ρ_{n}(x,y)+1} d) ρ(x, y) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{ρ_{n}(x,y)}{ρ_{n}(x,y)+1}

Je ρ pseudometrika? Kdy je to metrika? Výsledky a návody. 1. ano 2. ano 3. ne 4. ano 5. a) ano b) ne 6. ano 7. Platí pro f prosté. 8. Např. f(0) = 0, f nerostoucí, f(x + y) ≤ f(x) + f(y). 9. a) Je to pseudometrika, je-li to sup definované. b)c)d) Vždy je to pseudometrika. Metrika to je, právě když pro každé x ≠ y existuje n takové, že ρ_{n}(x, y) ≠ 0.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

II. Ještě k metrickým prostorům

1. Rozhodněte, zda následující množiny jsou otevřené ev. uzavřené, zjistěte jejich vnitřek, uzávěr, vnějšek, hranici.

\begin{matrix}a) A = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x > 0, y ≤ 0\}; & b) B = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} + 2xy = 5\}; \\ c) C = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x ≥ 0, y > 0, x + y = 2, z ≤ 0\}; & d) D = \{f ∈ C[0, 1] | f(\frac{1}{2}) = 2\}; \\ e) E = \{f ∈ C[0, 1] | f(\frac{1}{2}) ∈ (0, 2)\}; & f) F = \{f ∈ C[0, 1] | ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0\} \end{matrix}

2. Definujme N : C[0, 1] → ℝ předpisem N (f) = ∫_{0}^{1} f(x)dx. Je N spojité zobrazení?

3. Dokažte, že na každé množině existuje nejsilnější metrika. Popište ji. Existuje na ℝ nejslabší metrika?

4. Nalezněte v ℝ^{2} metriku, která není ekvivalentní s euklidovskou ani s diskrétní metrikou.

5. Platí rovnosti \overline{U_{δ}(a)} = \{x | ρ(a, x) ≤ δ\} a int\{x | ρ(a, x) ≤ δ\} = U_{δ}(a) pro každé δ > 0 a) v každém metrickém prostoru b) v normovaném lineárním prostoru ?

6. Platí následující rovnosti?

(i) \overline{M_{1} ∪ M_{2}} = \overline{M_{1}} ∪ \overline{M_{2}}; (ii) \overline{M_{1} ∩ M_{2}} = \overline{M_{1}} ∩ \overline{M_{2}}; (iii) intM_{1} ∪ intM_{2} = int(M_{1} ∪ M_{2}); (iv) intM_{1} ∩ intM_{2} = int(M_{1} ∩ M_{2}); (v) (M′)′ = M′; (vi) M ⊂ ℝ, s ∈ ℝ, s = supM ⇒ s ∈ \overline{M}(s ∈ M′, s ∈ ∂M).

7. Necht’ (X, ρ) a (Y, σ) jsou metrické prostory. Najděte metriku na X ×Y takovou, že konvergence v ní je konvergencí ţpo souřadnicích�. Totéž pro posloupnost metrických prostorů (X_{n}, ρ_{n}) a součin

∏_{n∈ℕ} X_{n}.

8. Co lze říci o konvergenci v metrikách z příkladu I/9.?

Výsledky a návody. 1. 2. Využijte linearitu a monotonii Newtonova integrálu. 3. Diskrétní metrika je nejsilnější. Nejslabší metrika neexistuje – uvažujme ρ_{1}(x, y) = |x − y| a ρ_{2}(x, y) = |f(x) − f(y)|, kde f je zobrazení, přehazující dva body (např. 0 a 1). Pak neexistuje metrika slabší než obě tyto. 4. Např. opět přehození dvou bodů. Nebo ρ((x, y), (x′, y′)) = |x − x′| + ρ_{d}(y, y′), kde ρ_{d} je diskrétní metrika. 5. V metrickém prostoru platit nemusí (např. diskrétní prostor a δ = 1), ale v NLP platí. 6. Platí: (i), (iv), (vi) – případ \overline{M} a ∂M. Neplatí: (ii), (iii), (v), (vi) – případ M′. 7. Např. d((x, y), (x′y′)) = ρ(x, x′) + σ(y, y′). Pro nekonečně mnoho prostorů např. d((x_{n}), (y_{n})) = ∑ \frac{1}{2^{n}} min(ρ_{n}(x_{n}, y_{n}), 1).

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

III. Zjistěte, zda existují limity, a existují-li, spočtěte je

1. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} \frac{x^{2} +y^{2}}{\sqrt{x^{2} +y^{2} +1} −1} 2. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} ^{\frac{\sqrt{x^{2} y^{2} +1} −1}{x^{2} +y^{2}}} 3. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} \frac{sin(x^{3} +y^{3} )}{x^{2} +y^{2}} 4. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} \frac{1−cos(x^{2} +y^{2} )}{(x^{2} +y^{2} )x^{2} y^{2}}

5. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} ^{\frac{e^{− \frac{1}{x^{2} +y^{2}}}}{x^{4} +y^{4}}} 6. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}}(1 + x^{2}y^{2})^{\frac{1}{x^{2} +y^{2}}} 7. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} +(x−y)^{2}} 8. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}}(x + y) sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y}

9. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→3 \end{matrix}} \frac{sin xy}{x} 10. lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}}(x^{2} + y^{2})^{x^{2} y^{2}}

Lze následující funkce spojitě rozšířit na celou rovinu ?

11. \frac{x+y}{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} 12. \frac{xy}{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} 13. \frac{xy^{2}}{\sqrt{x^{4} +y^{4}}} 14. \frac{sin xy}{x}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

IV. Metrické prostory – pokračování

1. Mějme na množině X dvě metriky ρ a σ, které určují stejný pojem hranice množiny. Musí být ekvivalentní?

2. Nalezněte spočetnou nekompaktní množinu v C[0, 1]. Můžete ji volit uzavřenou a omezenou?

3. Je prostor (0, 1) úplný? Existuje na něm ekvivalentní metrika, ve které je úplný?

4. Existuje na [0, 1] ekvivalentní metrika, v níž tento prostor není omezený?

5. Existuje na ℝ ekvivalentní metrika, ve které není úplný? A co na [−1, 1]?

6. Existuje na ℝ ekvivalentní metrika, ve které je úplný a omezený? Můžeme požadovat totální omezenost?

7. Dokažte, že následující množina je kompaktní, M = \{(x_{n})_{n=1}^{+∞} ∈ ℓ_{2}; |x_{n}| ≤ \frac{1}{n}\}.

8. Ukažte, že prostor ℓ_{2} je separabilní a jeho jednotková koule není totálně omezená.

9. Dokažte, že sjednocení konečně mnoha řídkých množin je řídká množina.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

V. Metrické prostory počtvrté

1. Dokažte, že ℝ s obvyklou metrikou je separabilní. Je každá podmnožina ℝ separabilní?

2. Dokažte, že součin konečně mnoha separabilních prostorů je separabilní. Jak je to pro spočetně mnoho (např. ℝ^{ℕ} s metrikou ρ(x, y) = ∑ \frac{1}{2^{k}} min(|x_{k} − y_{k}|, 1))?

3. Dokažte, že C[0, 1] je separabilní.

4. Necht’ ρ je euklidovská metrika na ℝ^{2}, σ taková metrika na ℝ^{2}, že existují c, C > 0, že pro každé x, y ∈ ℝ^{2} platí cρ(x, y) ≤ σ(x, y) ≤ Cρ(x, y), a a ∈ ℝ^{2} je libovolné. Lze funkce f(x) = \frac{σ(x,a)}{ρ(x,a)} a

g(x) = (σ(x, a))^{ρ(x,a)} spojitě rozšířit na celou rovinu?

VI. Zkoumejte existenci a hodnotu parciálních derivací a diferenciálu (ev. spojitě dodefinované, lze-li to udělat) funkce f(x, y) =

1. \sqrt{x^{2} + y^{2}} 2. \sqrt[3]{x + y^{2}} 3. arctg \frac{x+y}{1−xy} 4. \sqrt[3]{x^{2} + y} · ln(x^{2} + y^{2}) 5. |x| · |y| 6. \sqrt[3]{xy}

7. \sqrt[3]{x^{3} + y^{3}} 8. (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x^{2} +y^{2}} 9. e^{\frac{−1}{x^{2} +y^{2} +xy}} 10. \frac{x^{2} y(|x|+|y|)}{x^{4} +y^{2}}

11. Necht’ f(x, y) = xy \frac{x^{2} −y^{2}}{x^{2} +y^{2}} , f(0, 0) = 0. Spočtěte \frac{∂^{2} f}{∂x∂y} (0, 0) a \frac{∂^{2} f}{∂y∂x}(0, 0).

Spočtěte přibližně tak, že nahradíte přírůstek vhodné funkce jejím diferenciálem

12. \frac{1.03^{2}}{\sqrt[3]{0.98 \sqrt[4]{1.05^{3}}}} 13. \sqrt{1.02^{3} + 1.97^{3}} 14. 0.97^{1.05} 15. 1.04^{2.02} 16. 1.002 · 2.003^{2} · 3.004^{3}

17. ln(\sqrt[3]{1.03} + \sqrt[4]{0.98} − 1)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

VII. Funkce více proměnných – derivace, složené funkce

1. Spočtěte δf((1, 1, 1), v), kde v = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} a f(x, y, z) = x^{y} + y^{z}.

2. Necht’ f(s, t) je kladná funkce třídy C^{1} na ℝ^{2}. Vyjádřete parciální derivace 1. řádu funkce g pomocí hodnot a derivací funkce f, pokud je (a) g(x, y) = f(x, y)^{f(x,y)}, b) g(x, y) = f(x, y)^{f(y,x)}.

3. Necht’ f má diferenciál v bodě (1, 1) a necht’ f(1, 1) = f′_{1}(1, 1) = 1, f′_{2}(1, 1) = 2. Položme g(t, u) = f(f(u, t), f(t, u)). Spočtěte \frac{∂g}{∂t} (1, 1).

4. Necht’ f(r, φ) = g(r cosφ, r sinφ), funkce g má diferenciál v bodě (1, 1), \frac{∂f}{∂r} (\sqrt{2}, \frac{π}{4}) = 0, \frac{∂f}{∂φ}(\sqrt{2}, \frac{π}{4}) = 4. Spočtěte g′_{1}(1, 1), g′_{2}(1, 1).

5. Převed’te do polárních souřadnic rovnici a) x · \frac{∂u}{∂y} + y · \frac{∂u}{∂x} = 0, b) \frac{∂^{2} u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2} u}{∂y^{2}} = 0.

*6. Převed’te do sférických souřadnic rovnici \frac{∂^{2} u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2} u}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2} u}{∂z^{2}} = 0.

7. Transformujte do polárních souřadnic rovnici \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x−y} (t.j. napište odpovídající rovnici pro r = r(φ)).

8. Spočítejte směrové derivace normy ve všech bodech prostoru a) c_{0}, *b) C[0, 1], c) ℓ^{2}, a charakterizujte body, v nichž má norma diferenciál (resp. Gâteauxovu derivaci).

9. Necht’ X je normovaný lineární prostor. Co lze říci o derivaci normy v bodě 0? A co pro funkci f(x) = ∥x∥^{2}?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/1 – první verze

1. Necht’ f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{|xy|^{1+α}}{x^{2} +y^{2}} & má-li tento výraz smysl, \\ 0 & (x, y) = (0, 0), \end{matrix} kde α ∈ ℝ je parametr.

a) Určete, pro která α je f spojitá v bodě (0, 0). (8 bodů)

b) Spočtěte \frac{∂f}{∂x}(0, 0) a \frac{∂f}{∂y} (0, 0) pro všechna α, pro něž tyto derivace existují. (6 bodů)

c) Určete, pro která α má f v bodě (0, 0) diferenciál. (8 bodů)

Řešení. Označme β = 1 + α. Pokud β ≥ 0, je f definována na celé rovině, pokud β < 0, není definována na osách (s výjimkou počátku, kde je dodefinována dle zadání).

a) Aby f byla spojitá v (0, 0), musí být definována na nějakém okolí (0, 0), tedy nutně β ≥ 0. Pak, protože víme, že |xy| ≤ \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2}), platí

f(x, y) = \frac{|xy|^{β}}{x^{2} + y^{2}} ≤ \frac{(\frac{x^{2} +y^{2}}{2} )β}{x^{2} + y^{2}} = \frac{(x^{2} + y^{2}) ^{β−1}}{2^{β}} ,

což má zřejmě limitu 0, pokud β > 1.

V případě, že β ≤ 1, spočtěme limitu po přímce y = x, tedy

f(x, x) = \frac{|x|^{2β}}{2x^{2}} = \frac{|x|^{2(β−1)}}{2} ,

což pro x → 0 má limitu \frac{1}{2}, pokud β = 1 a +∞, pokud β < 1. Odtud plyne, že f je spojitá v (0, 0), právě když β > 1 (tj. α > 0).

b) Protože pro β < 0 není f definována na osách (s výjimkou (0, 0)), nemá smysl pro tato β mluvit o parciálních derivacích v počátku. Pokud β = 0, je f(x, 0) = \frac{1}{x^{2}} , což nemá derivaci v 0 (nebot’ to tam, jakožto funkce jedné proměnné, má nekonečnou limitu). Podobně pro f(0, y). Pokud β > 0, pak f(x, 0) = f(0, y) = 0 pro všechna x, y, a tedy zřejmě parciální derivace jsou nulové. Shrnutí: Pro β > 0 je \frac{∂f}{∂x}(0, 0) = \frac{∂f}{∂y} (0, 0) = 0, pro β ≤ 0 žádná z derivací neexistuje.

c) Má-li f diferenciál, musí mít parciální derivace, tedy β > 0, a podle části b) je diferenciál nulový. Přitom nulové zobrazení je diferenciálem, platí-li rovnost

lim_{\begin{matrix}x→0 \\ y→0 \end{matrix}} \frac{\frac{|xy|^{β}}{x^{2} +y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0.

Stejně jako v a) dokážeme, že

\frac{\frac{|xy|^{β}}{x^{2} +y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} ≤ \frac{(x^{2} + y^{2}) ^{β− \frac{3}{2}}}{2^{β}} ,

a tedy pro β > \frac{3}{2} skutečně je příslušná limita nulová a pro β ≤ \frac{3}{2} limita pro y = x nulová nevyjde. Shrnutí: f má diferenciál v (0, 0), právě když β > \frac{3}{2}.

2. Necht’ diferencovatelné funkce r(x, y) a ϕ(x, y) splňují rovnice x = e^{r} cosϕ, y = e^{7r} sinϕ. Vyjádřete \frac{∂r}{∂x} a \frac{∂ϕ}{∂x} pomocí hodnot funkcí r a ϕ. (14 bodů)

Řešení. Obě rovnice zderivujme podle x a dostaneme:

1 = e^{r} · \frac{∂r}{∂x} · cosϕ − e^{r} sinϕ · \frac{∂ϕ}{∂x}
0 = 7e^{7r} \frac{∂r}{∂x} · sinϕ + e^{7r} cosϕ · \frac{∂ϕ}{∂x},

neboli

e^{−r} = \frac{∂r}{∂x} · cosϕ − sinϕ · \frac{∂ϕ}{∂x}
0 = 7\frac{∂r}{∂x} · sinϕ + cosϕ · \frac{∂ϕ}{∂x}.

Pokud první rovnici vynásobíme cosϕ, druhou sinϕ a sečteme, dostaneme

e^{−r} cosϕ = \frac{∂r}{∂x}(cos^{2} ϕ + 7 sin^{2} ϕ),

tedy

\frac{∂r}{∂x} = \frac{e^{−r} cosϕ}{1 + 6 sin^{2} ϕ} .

Pokud od 7 sinϕ-násobku první rovnice odečteme cosϕ-násobek druhé rovnice, dostaneme analogicky jako výše

\frac{∂ϕ}{∂x} = \frac{−7e^{−r} sinϕ}{1 + 6 sin^{2} ϕ}.

3. Převed’te do polárních souřadnic rovnici x\frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y} = 0. (14 bodů) Řešení. Převedení do polárních souřadnic znamená zavedení nové funkce v, která splňuje v(r, ϕ) = u(r cosϕ, r sinϕ). Pak pro parciální derivace platí vztah:

\frac{∂v}{∂r} = \frac{∂u}{∂x} · cosϕ + \frac{∂u}{∂y} · sinϕ
\frac{∂v}{∂ϕ} = \frac{∂u}{∂x} · (−r sinϕ) + \frac{∂u}{∂y} · r cosϕ,

neboli

\frac{∂v}{∂r} = \frac{∂u}{∂x} · cosϕ + \frac{∂u}{∂y} · sinϕ
\frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} = −\frac{∂u}{∂x} · sinϕ + \frac{∂u}{∂y} · cosϕ.

Vyjádříme-li z těchto dvou rovnic \frac{∂u}{∂x} a \frac{∂u}{∂y}, dostaneme

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂r} · cosϕ − \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · sinϕ, a
\frac{∂u}{∂y} = \frac{∂v}{∂r} · sinϕ + \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · cosϕ.

Dosazením spočítáme

x\frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y} = r cosϕ (\frac{∂v}{∂r} · cosϕ − \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · sinϕ) + r sinϕ (\frac{∂v}{∂r} · sinϕ + \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · cosϕ) = r · \frac{∂v}{∂r} .

Tedy naše rovnice v polárních souřadnicích má tvar r \frac{∂v}{∂r} = 0, neboli \frac{∂v}{∂r} = 0 (protože r > 0).

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/1 – druhá verze

1. Necht’ f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{|xy|^{1−α}}{x^{2} +y^{2}} & má-li tento výraz smysl, \\ 0 & (x, y) = (0, 0), \end{matrix} kde α ∈ ℝ je parametr.

a) Určete, pro která α je f spojitá v bodě (0, 0). (8 bodů)

b) Spočtěte \frac{∂f}{∂x}(0, 0) a \frac{∂f}{∂y} (0, 0) pro všechna α, pro něž tyto derivace existují. (6 bodů)

c) Určete, pro která α má f v bodě (0, 0) diferenciál. (8 bodů) Řešení. Položme β = 1 − α a pokračujme jako v první verzi.

2. Necht’ diferencovatelné funkce r(x, y) a ϕ(x, y) splňují rovnice x = e^{r} cosϕ, y = e^{7r} sinϕ. Vyjádřete \frac{∂r}{∂y} a \frac{∂ϕ}{∂y} pomocí hodnot funkcí r a ϕ. (14 bodů)

Řešení. Stejné jako v první verzi, jen se derivuje podle y.

0 = e^{r} · \frac{∂r}{∂y} · cosϕ − e^{r} sinϕ · \frac{∂ϕ}{∂y}
1 = 7e^{7r} \frac{∂r}{∂y} · sinϕ + e^{7r} cosϕ · \frac{∂ϕ}{∂y},

neboli

0 = \frac{∂r}{∂y} · cosϕ − sinϕ · \frac{∂ϕ}{∂y}
e^{−7r} = 7\frac{∂r}{∂y} · sinϕ + cosϕ · \frac{∂ϕ}{∂y},

tedy

\frac{∂r}{∂y} = \frac{e^{−7r} cosϕ}{1 + 6 sin^{2} ϕ}
\frac{∂ϕ}{∂y} = \frac{−7e^{−7r} sinϕ}{1 + 6 sin^{2} ϕ}.

3. Převed’te do polárních souřadnic rovnici x\frac{∂u}{∂y} − y \frac{∂u}{∂x} = 0. (14 bodů) Řešení. Stejně jako v první verzi vyjádříme \frac{∂u}{∂x} a \frac{∂u}{∂y} a dosadíme

x\frac{∂u}{∂y} − y \frac{∂u}{∂x} = r cosϕ (\frac{∂v}{∂r} · sinϕ + \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · cosϕ) − r sinϕ (\frac{∂v}{∂r} · cosϕ − \frac{1}{r} \frac{∂v}{∂ϕ} · sinϕ) = \frac{∂v}{∂ϕ},

tedy naše rovnice má v polárních souřadnicích tvar \frac{∂v}{∂ϕ} = 0.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

VIII. V následujících úlohách zjistěte sup a inf funkce na množině M a vyšetřete,

zda těchto hodnot funce na M nabývá.

1. f (x, y, z) = (x + y) ^{2} + (x − y)^{2} + z; M = [−1; 1] × [−1; 1] × [−1; 1];

2. f (x, y) = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} , a > 0, b > 0; M = \{(x, y); x^{2} + y^{2} ≤ 1\};

3. f (x, y, z) = x^{2} +y^{2} +z^{2} +2x+4y −6z; M = ℝ^{3}; 4. f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) e^{−(x^{2} +y^{2})} ; M = ℝ^{2};

5. f (x, y) = x^{2} − xy + y^{2}, M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; |x| + |y| ≤ 1}

6. f (x, y) = (x + y) e^{−2x−3y}; M = {(x, y); x > 0, y > 0} Nalezněte lokální extrémy následujících funkcí v uvedených oblastech:

7. f (x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{2} − 2xy − y^{2}; M = ℝ^{2}

8. f (x, y) = xy + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}; M = \{(x, y); x > 0; y > 0\}

9. z (x, y) = x^{2}y^{3} (6 − x − y); M = {(x, y); x > 0; y > 0}

10. z (x, y) = x^{2}y^{3} (6 − x − y); M = ℝ^{2}

11. f (x, y, z) = x + \frac{y^{2}}{4x} + \frac{z^{2}}{y} + \frac{2}{z}, M = \{(x, y, z); x > 0, y > 0, z > 0\}.

12. f (x, y, z) = x^{4} − y^{4} − x^{2} − 2xy − y^{2}, M = ℝ^{2}

13. Dokažte, že funkce f (x, y) = (1 + e^{y}) cosx − ye^{y} nabývá lokálního maxima v nekonečně mnoha bodech, avšak lokálního minima ani v jednom bodě.

IX. Zjistěte, zda uvedené posloupnosti funkcí konvergují stejnoměrně na zadaných intervalech:

1. f_{n}(x) = x^{n} − x^{n+1} , x ∈< 0, 1 >, 2. f_{n}(x) = x^{n} − x^{2n}, x ∈< 0, 1 >

3. f_{n}(x) = \frac{1}{x+n} , x ∈ (0, +∞) 4. f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n+x} , x ∈< 0, 1 >

5. f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{1+x^{n}} , a) x ∈< 0, 1 − ε >, b) x ∈< 1 − ε, 1 + ε >, c) x ∈< 1 + ε, +∞), kde ε ∈ (0, 1)

6. f_{n}(x) = \frac{2nx}{1+n^{2} x^{2}} , a) x ∈< 0, 1 >, b) x ∈ (1, +∞) 7. f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n^{2}}} , x ∈ ℝ

8. f_{n}(x) = n (\sqrt{x + \frac{1}{n}} − \sqrt{x}) , x ∈ (0, +∞), 9. f_{n}(x) = \frac{sin nx}{n}, x ∈ ℝ,

10. f_{n}(x) = sin \frac{x}{n}, x ∈ ℝ.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

X. Vyšetřete bodovou, stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou

konvergenci posloupností a řad

1. ∑_{k=1}^{∞} \frac{kx}{1+k^{5} x^{2}} 2. ∑_{k=1}^{∞} log(1 + \frac{x^{2}}{k log^{2} k} ) 3. ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{x+k} 4. ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k}

5. ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos kx}{k} 6. ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin x sin kx}{\sqrt{k+x}} 7. ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos kx}{k} arctg(kx + k) 8. ∑_{k=1}^{∞} \frac{a_{k}}{k^{x}}, kde a_{k} ∈ ℝ

9. f_{n}(x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}

10. Dokažte, že f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k^{3}} má spojitou derivaci na ℝ a spojitou f′′ na (0, 2π).

11. Dokažte, že funkce ζ(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{x}} je C^{∞} na (1, ∞).

12. Necht’ f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{x}{k^{p}+x^{2} k^{q}} , kde p, q ≥ 0. Dokažte, že

(i) f je spojitá na (0, ∞), pokud max(p, q) > 1, (ii) f je spojitá na ℝ, pokud p + q > 2.

13. V kterých bodech má derivaci funkce (a) f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+x} (b) f(x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{|x|}{n^{2} +x^{2}}

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/2 – první verze

1. Nechť f(x, y) = (x − 5y)e^{y−x} a M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x > 0 & y < 0}. Najděte supremum a infimum funkce f na množině M a zjistěte, zda f těchto hodnot nabývá. Řešení. Pro každé (x, y) ∈ M zřejmě platí f(x, y) > 0. Navíc funkce f je spojitá na celém ℝ^{2}, a tedy inf f(M) = inf f (\overline{M}). Avšak \overline{M} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 0 & y ≤ 0\} a zřejmě minf (\overline{M}) = 0, a tedy inf f(M) = 0 a f tohoto infima nenabývá. Nyní hledejme supremum. Opět platí supf(M) = supf (\overline{M}). Přitom pro každé (x, y) ∈ \overline{M} platí

f(x, y) ≤ 5(x − y)e^{y−x}.

Uvažujme pomocnou funkci φ(t) = 5te^{−t}. Víme, že φ je spojitá na ℝ, φ(0) = 0 a lim_{t→+∞} φ(t) = 0,

a tedy φ je omezená na [0, +∞). A protože pro (x, y) ∈ \overline{M} platí x − y ≥ 0 a f(x, y) ≤ φ(x − y) (viz výše), je f na \overline{M} omezená, a tedy s = supf (\overline{M}) ∈ (0, +∞). Nyní využijme ještě jednou toho, že lim_{t→+∞} φ(t) = 0. Pak totiž existuje T > 0 takové, že pro t > T máme φ(t) < \frac{s}{2}, a tedy speciálně

dostaneme

sup\{f(x, y) | (x, y) ∈ \overline{M} & x − y > T \} ≤ \frac{s}{2}.

Nyní, množina \{(x, y) ∈ \overline{M} | x − y ≤ T \} je kompaktní, a tedy spojitá funkce f na ní nabývá svého maxima. Toto maximum musí být s, a tedy f nabývá na \overline{M} svého maxima. Tudíž stačí vyšetřit všechny ţpodezřelé body�.

Nejprve najděme podezřelé body v M. Protože M je otevřená, f by v bodě extrému měla nulové parciální derivace. Ale

\frac{∂f}{∂x} = (1 − x + 5y)e^{y−x}, \frac{∂f}{∂y} = (−5 + x − 5y)e^{y−x},

a ty nemohou být obě nulové. (Jinak by totiž platilo 1 = x − 5y = 5.) Tedy na M funkce f extrémů nenabývá. Nyní se podívejme na hranici M. Tu tvoří dvě poloosy. První je určena x = 0, y ≤ 0. Přitom f(0, y) = −5ye^{y}. Derivace této funkce (jedné proměnné) je −5e^{y}(y + 1), a ta je nulová jedině v bodě y = −1, a tedy dostáváme podezřelý bod (0, −1), pro který platí f(0, −1) = 5e^{−1}. Pro druhou poloosu postupujme analogicky. f(x, 0) = xe^{−x}, derivace je e^{−x}(1−x), což je nulové právě pro x = 1. Dostáváme druhý podezřelý bod (1, 0), pro který f(1, 0) = e^{−1}. Konečně, poslední podezřelý bod je krajní bod obou poloos (0, 0), ale v něm je f(0, 0) = 0. Tedy docházíme k závěru, že

supf(M) = \frac{5}{e}, a suprema se nenabývá.

2. Najděte všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = xy log(2x^{2} + y^{2}) . Řešení. f je definovaná na ℝ^{2} \ {(0, 0)}, což je otevřená množina, na níž je f spojitá a má spojité parciální derivace všech řádů. Proto, jestliže má v nějakém bodě lokální extrém, musí v něm být obě parciální derivace nulové. Nejdříve je spočtěme.

\frac{∂f}{∂x} (x, y) = y log(2x^{2} + y^{2}) + xy · \frac{4x}{2x^{2} + y^{2}} = y (log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{4x^{2}}{2x^{2} + y^{2}} )
\frac{∂f}{∂y} (x, y) = x log(2x^{2} + y^{2}) + xy · \frac{2y}{2x^{2} + y^{2}} = x (log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{2y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} )

Každá z nich je součinem dvou výrazů, a tak, mají-li být obě nulové, jsou čtyři možnosti:

(i) x = y = 0  (ii) x = 0 & log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{4x^{2}}{2x^{2} +y^{2}} = 0
(iii) y = 0 & log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{2y^{2}}{2x^{2} +y^{2}} = 0  \begin{matrix}(iv) log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{2y^{2}}{2x^{2} +y^{2}} = 0 \\ & log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{4x^{2}}{2x^{2} +y^{2}} = 0 \end{matrix}

Možnost (i) nemůže nastat, protože bod (0, 0) nepatří do definičního oboru. Z možnosti (ii) dostaneme logy^{2} = 0, neboli y^{2} = 1, což vede ke dvojici podezřelých bodů (0, 1) a (0, −1). Z možnosti (iii) dostáváme log(2x^{2}) = 0, tedy dvojici bodů (−\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) a (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0). Zbývá vyšetřit možnost (iv). Z ní plyne ihned (odečtením obou rovnic), že \frac{4x^{2}}{2x^{2} +y^{2}} = \frac{2y^{2}}{2x^{2} +y^{2}} , neboli y^{2} = 2x^{2}. Dosaďme toto například do první rovnice, a vyjde nám

log(2x^{2} + 2x^{2}) + \frac{4x^{2}}{2x^{2} + 2x^{2}} = 0
log(4x^{2}) = − 1
x^{2} = \frac{1}{4e}

Podle předchozího pak platí y^{2} = \frac{1}{2e}. Snadným dosazením ověříme, že skutečně rovnosti v možnosti

(iv) platí, kdykoli x^{2} = \frac{1}{4e} a y^{2} = \frac{1}{2e}. To dává čtyři podezřelé body (\frac{1}{2\sqrt{e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}), (−\frac{1}{2\sqrt{e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}),

(\frac{1}{2\sqrt{e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}), (−\frac{1}{2\sqrt{e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}). Abychom zjistili, ve kterých z podezřelých bodů jseu extrémy, vyšetříme druhý diferenciál. Spočtěme tedy druhé parciální derivace:

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) = y (\frac{4x}{2x^{2} + y^{2}} + \frac{8x(2x^{2} + y^{2}) − 4x^{2} · 4x}{(2x^{2} + y^{2})^{2}} ) = \frac{4xy}{2x^{2} + y^{2}} · (1 + \frac{4y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} )
\frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y) = x (\frac{2x}{2x^{2} + y^{2}} + \frac{4y(2x^{2} + y^{2}) − 2y^{2} · 2y}{(2x^{2} + y^{2})^{2}} ) = \frac{2xy}{2x^{2} + y^{2}} · (1 + \frac{4x^{2}}{2x^{2} + y^{2}} )
\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = log(2x^{2} + y^{2}) + \frac{4x^{2}}{2x^{2} + y^{2}} + y (\frac{2y}{2x^{2} + y^{2}} + \frac{4x^{2} · 2y}{(2x^{2} + y^{2})^{2}} )

= log(2x^{2} + y^{2}) + 2 + \frac{8x^{2}y^{2}}{(2x^{2} + y^{2})^{2}}

V bodech (0, 1) a (0, −1) má druhý diferenciál matici ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}), což je zřejmě indefinitní (příslušná

kvadratická forma je (h_{1}, h_{2}) ↦ 4h_{1}h_{2}, takže například v bodě (1, 1) je kladná a v bodě (−1, 1) záporná). Takže v těchto bodech není extrém. V bodech (−\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) a (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) vyjde matice druhého diferenciálu stejně, a tak ani v těchto bodech není extrém.

V bodech (\frac{1}{2\sqrt{e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}) a (−\frac{1}{2\sqrt{e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}) má matice druhého diferenciálu tvar ( \begin{matrix}3\sqrt{2} & 2 \\ 2 & 2\sqrt{2} \end{matrix}), je

tedy pozitivně definitní (determinant je 8, tedy kladný, a rovněž 3\sqrt{2} > 0), v těchto bodech je tedy ostré lokální minimum. Jeho hodnota je v obou případech −\frac{1}{2e\sqrt{2}} .

V bodech (−\frac{1}{2\sqrt{e}}, \frac{1}{\sqrt{2e}}) a (\frac{1}{2\sqrt{e}}, −\frac{1}{\sqrt{2e}}) má matice druhého diferenciálu tvar ( \begin{matrix}−3\sqrt{2} & 2 \\ 2 & −2\sqrt{2} \end{matrix}),

je tedy negativně definitní (determinant je 8, tedy kladný, a přitom −3\sqrt{2} < 0), v těchto bodech je tedy ostré lokální maximum. Jeho hodnota je v obou případech \frac{1}{2e\sqrt{2}} .

3. Položme f(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(k − 1) · logk · k^{x}}. Dokažte, že funkce f je definována na nějakém okolí 0

a spočtěte f′(0). Řešení. Zřejmě platí

lim_{k→∞} \frac{\frac{1}{k(k−1)·log k·k^{x}}}{\frac{1}{k^{x+2}}} = lim_{k→∞} \frac{k^{2}}{k(k − 1) logk} = 0,

a tak pro x > −1 řada, jíž je definována f, konverguje. Tudíž f je definována alespoň na (−1, +∞), tedy rozhodně na nějakém okolí 0. (Lze snadno ukázat, že pro jiná x řada nekonverguje, ale to nás v tomto příkladu nezajímá.) Chceme spočítat f′(0), a tak zkusme, zda naši řadu lze derivovat člen po členu. Nejprve spočtěme derivaci k-tého členu.

(\frac{1}{k(k − 1) · logk · k^{x}})′ = \frac{1}{k(k − 1) · logk} · ((\frac{1}{k} )^{x})′ = \frac{1}{k(k − 1) · logk} · log \frac{1}{k} · (\frac{1}{k} )^{x}

= \frac{−1}{k(k − 1) · k^{x}}.

Pokud x ≥ −\frac{1}{2}, platí

|\frac{−1}{k(k − 1) · k^{x}} | ≤ \frac{1}{\sqrt{k}(k − 1)},

přičemž řada ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{\sqrt{k}(k−1)} konverguje, a tedy řada derivací ∑_{k=2}^{∞} \frac{−1}{k(k−1)·k^{x}} konverguje stejnoměrně

na intervalu (−\frac{1}{2}, +∞). A tedy na tomto intervalu platí

f′(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{−1}{k(k − 1) · k^{x}}.

(Tato rovnost platí i na (−1, +∞), ale to nás nyní nezajímá.) Tedy

f′(0) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{−1}{k(k − 1)} = ∑_{k=2}^{∞}(−\frac{1}{k − 1} + \frac{1}{k} ) = −1.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Test číslo II/2 – druhá verze

1. Nechť f(x, y) = (x − 3y)e^{x−y} a M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x < 0 & y > 0}. Najděte supremum a infimum funkce f na množině M a zjistěte, zda f těchto hodnot nabývá. Řešení. Analogicky jako v první verzi je vidět, že supf(M) = 0 a tohoto suprema se nenabývá. S použitím nerovnosti

0 ≥ f(x, y) ≥ 3(x − y)e^{x−y}, (x, y) ∈ \overline{M},

opět dokážeme, že f je na \overline{M} omezená a nabývá tam svého minima. Zase nám vyjdou podezřelé body (0, 0), (0, 1) a (−1, 0), přičemž nejnižší hodnota −\frac{3}{e} se nabývá v bodě (−1, 0). Tedy

inf f(M) = −\frac{3}{e}, hodnota se na M nenabývá.

2. Najděte všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = xy log(x^{2} + 2y^{2}) . Řešení. Stejné jako v první verzi, se zaměněnými x a y.

3. Položme f(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(k + 1) · logk · k^{x}} . Dokažte, že funkce f je definována na nějakém okolí 0

a spočtěte f′(0). Řešení. Ze stejných důvodů jako v první verzi platí pro x > −\frac{1}{2} rovnost

f′(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{−1}{k(k + 1) · k^{x}} ,

a tedy

f′(0) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{−1}{k(k + 1)} = ∑_{k=2}^{∞}(−\frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} ) = −\frac{1}{2}.