\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}%
\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}%
\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}%cstocs
\def\softL{L\kern-0.8ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern0.1ex}%cstocs
% endofdefsfromcstocs %

\input cviceni
\vcorrection{12 mm}
\NoBlackBoxes
\def\lm#1#2{\lim\limits_{\smallmatrix x\to#1 \\ y\to #2\endsmallmatrix}}


{\centerline{\smc I. Zjist\v{e}te, zda $(X,\rho)$ je metrick\'y prostor,
pokud}

\pr $X$ je libovoln\'a mno\v{z}ina, $\rho(x,y)=\cases 1 & x\ne y \\ 0 & x=y
\endcases$.
\pr $X=\Bbb R^n$, $\rho(x,y)=\sum\limits_{k=1}^n|x_k-y_k|^p$, kde
$p\in(0,1)$.
\pr $X=\Bbb R^2$,
$\rho((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\left(|x_1-y_1|^p+|x_2-y_2|^p\right)
^{\frac1p}$, kde $p\in(0,1)$.

\pr $X$ je prostor omezen\'ych spojit\'ych funkc\'{\i} na intervalu
$I\subset\Bbb R$ (t.j. $X=\Cal C_b(I)$), \linebreak
$\rho(f,g)=\sup\limits_{x\in I}\vert f(x)-f(y)\vert$. Kdy m\accent23u\v{z}eme
napsat $\max$ m\'{\i}sto $\sup$ ?

\pr $X=\Cal C[0,1]$, a) $\rho(f,g)=\int\limits_0^1\vert
f(x)-g(x)\vert\roman dx$; b) $\rho(f,g)=\vert\int\limits_0^1
f(x)-g(x)\roman dx\vert $.

\pr $X=\{(x_n)\mid \lim x_n=0\}$,
$\rho(x,y)=\max\limits_{n\in\Bbb N} \vert x_n-y_n\vert$ (a
doka\v{z}te, \v{z}e maximum existuje).

\pr Nech\softt{} $(X,\rho)$ je metrick\'y prostor a $f:X\to X$ zobrazen\'{\i}.
Definujme $\sigma(x,y)=\rho(f(x),f(y))$. Doka\v{z}te, \v{z}e $(X,\sigma)$
je metrick\'y prostor.

\pr Nech\softt{} $(X,\rho)$ je metrick\'y prostor,
$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ je funkce a
$\sigma(x,y)=f(\rho(x,y))$. Za jak\'ych podm\'{\i}nek na $f$ je $\sigma$
metrika na $X$?  Co kdy\v{z} $f(x)={x\over 1+x}$ (nebo
$f(x)=\min(1,x)$) ?

\pr \v{R}ekneme, \v{z}e $\rho$ je \it pseudometrika \rm na $X$, pokud pro
ka\v{z}d\'e $x,y,z\in X$ plat\'{\i}

\centerline{$\rho(x,x)=0$, $\rho(x,y)=\rho(y,x)$,
$\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$.}

Nech\softt{} na mno\v{z}in\v{e} $X$ m\'ame
posloupnost pseudometrik $\rho_n,\,n\in\Bbb N$. Polo\v{z}me

{\leftskip=30 true mm
a) $\rho(x,y)=\sup\limits_{n\in\Bbb N}\rho_n(x,y)$\quad
b) $\rho(x,y)=\sup\limits_{n\in\Bbb
N}{\rho_n(x,y)\over\rho_n(x,y)+1}$

c)  $\rho(x,y)=\sup\limits_{n\in\Bbb N}\frac1{2^n}
{\rho_n(x,y)\over\rho_n(x,y)+1}$\quad
d)  $\rho(x,y)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{2^n}
{\rho_n(x,y)\over\rho_n(x,y)+1}$\par}

Je $\rho$ pseudometrika? Kdy je to metrika?}

@ \pr ano \pr ano \pr ne \pr ano \pr a) ano b) ne \pr ano
\pr Plat\'{\i} pro $f$ prost\'e. \pr Nap\v{r}. $f(0)=0$, $f$ nerostouc\'{\i},
$f(x+y)\le f(x)+f(y)$.
\pr a) Je to pseudometrika, je-li to $\sup$ definovan\'e.
b)c)d) V\v{z}dy je to pseudometrika. Metrika to je, pr\'av\v{e} kdy\v{z} pro
ka\v{z}d\'e $x\ne y$ existuje $n$ takov\'e, \v{z}e $\rho_n(x,y)\ne0$.

\oddel

{%
\centerline{\smc II. Je\v{s}t\v{e} k~metrick\'ym prostor\accent23um}

\pr Rozhodn\v{e}te, zda n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} mno\v{z}iny jsou otev\v{r}en\'e ev.
uzav\v{r}en\'e, zjist\v{e}te jejich vnit\v{r}ek, uz\'av\v{e}r, vn\v{e}j\v{s}ek, hranici.

$\matrix\format\l&\quad\l\\
\text{a) $A=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x>0,\,y\le 0\}$;} &
\text{b) $B=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2+2xy=5\}$;} \\
\text{c) $C=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x\ge0,y>0,x+y=2,z\le0\}$;} &
\text{d) $D=\{f\in\Cal C[0,1]\mid f(\frac12)=2\}$;} \\
\text{e) $E=\{f\in\Cal C[0,1]\mid f(\frac12)\in(0,2)\}$;} &
\text{f) $F=\{f\in\Cal C[0,1]\mid \int\limits_0^1f(x)\roman
dx=0\}$}
\endmatrix$

\pr Definujme $\Cal N:\Cal C[0,1]\to\Bbb R$ p\v{r}edpisem $\Cal
N(f)=\int\limits^1_0f(x)\roman dx$. Je $\Cal N$ spojit\'e
zobrazen\'{\i}?

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e na ka\v{z}d\'e mno\v{z}in\v{e} existuje nejsiln\v{e}j\v{s}\'{\i} metrika.
Popi\v{s}te ji.
 Existuje na $\Bbb R$ nejslab\v{s}\'{\i} metrika?

\pr Nalezn\v{e}te v~$\Bbb R^2$ metriku, kter\'a nen\'{\i} ekvivalentn\'{\i}
s~euklidovskou ani s~diskr\'etn\'{\i} metrikou.

\pr Plat\'{\i} rovnosti $\overline{U_\delta(a)}=\{x\mid\rho(a,x)\le
\delta\}$ a $\vn\{x\mid\rho(a,x)\le\delta\}=U_\delta(a)$ pro
ka\v{z}d\'e $\delta>0$ a) v~ka\v{z}d\'em metrick\'em prostoru  b) v~normovan\'em
line\'arn\'{\i}m prostoru ?

\pr Plat\'{\i} n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} rovnosti?

(i) $\overline{M_1\cup
M_2}=\overline{M_1}\cup\overline{M_2}$;\quad
(ii) $\overline{M_1\cap
M_2}=\overline{M_1}\cap\overline{M_2}$;\quad
(iii) $\vn M_1\cup\vn M_2=\vn(M_1\cup M_2)$;

(iv) $\vn M_1\cap\vn M_2=\vn(M_1\cap M_2)$;\quad
(v) $(M')'=M'$;

(vi) $M\subset\Bbb R,s\in\Bbb R,s=\sup M\Rightarrow s\in\overline
M (s\in M',s\in\partial M)$.

\pr Nech\softt{} $(X,\rho)$ a $(Y,\sigma)$ jsou metrick\'e prostory.
Najd\v{e}te metriku na $X\times Y$ takovou, \v{z}e konvergence v~n\'{\i} je
konvergenc\'{\i} \clqq po sou\v{r}adnic\'{\i}ch\crqq. Tot\'e\v{z} pro posloupnost
metrick\'ych prostor\accent23u $(X_n,\rho_n)$ a sou\v{c}in
$\prod\limits_{n\in\Bbb N}X_n$.

\pr Co lze \v{r}\'{\i}ci o~konvergenci v~metrik\'ach z~p\v{r}\'{\i}kladu I/9.?}

\newpage

@ \pr \pr Vyu\v{z}ijte linearitu a monotonii Newtonova integr\'alu.
\pr Diskr\'etn\'{\i} metrika je nejsiln\v{e}j\v{s}\'{\i}.
Nejslab\v{s}\'{\i} metrika neexistuje -- uva\v{z}ujme $\rho_1(x,y)=|x-y|$ a
$\rho_2(x,y)=|f(x)-f(y)|$, kde $f$ je zobrazen\'{\i}, p\v{r}ehazuj\'{\i}c\'{\i} dva
body (nap\v{r}. $0$ a $1$). Pak neexistuje metrika slab\v{s}\'{\i} ne\v{z} ob\v{e}
tyto. \pr Nap\v{r}. op\v{e}t p\v{r}ehozen\'{\i} dvou bod\accent23u. Nebo
$\rho((x,y),(x',y'))=|x-x'|+\rho_d(y,y')$, kde $\rho_d$ je
diskr\'etn\'{\i} metrika. \pr V metrick\'em prostoru platit nemus\'{\i}
(nap\v{r}. diskr\'etn\'{\i} prostor a $\delta=1$), ale v NLP plat\'{\i}.
\pr Plat\'{\i}: (i), (iv), (vi) -- p\v{r}\'{\i}pad $\overline M$ a $\partial
M$. Neplat\'{\i}: (ii), (iii), (v), (vi) -- p\v{r}\'{\i}pad $M'$.
\pr Nap\v{r}. $d((x,y),(x'y'))=\rho(x,x')+\sigma(y,y')$. Pro
nekone\v{c}n\v{e} mnoho prostor\accent23u nap\v{r}.
$d((x_n),(y_n))=\sum\frac1{2^n}\min(\rho_n(x_n,y_n),1)$.

%\newpage
\oddel

{%
\centerline{\smc III. Zjist\v ete, zda existuj\'i limity,
 a existuj\'i-li, spo\v ct\v ete je}

\pr $\lm00 {x^2+y^2\over\sqrt{x^2+y^2+1}-1}$
\pr $\lm00 {\sqrt{x^2y^2+1}-1\over x^2+y^2}$
\pr $\lm00 {\sin(x^3+y^3)\over x^2+y^2}$
\pr $\lm00 {1-\cos(x^2+y^2)\over (x^2+y^2)x^2y^2}$

\pr $\lm00 {e^{-\frac1{x^2+y^2}}\over x^4+y^4}$
\pr $\lm00 (1+x^2y^2)^{\frac1{x^2+y^2}}$
\pr $\lm00 {x^2y^2\over x^2y^2+(x-y)^2}$
\pr $\lm00 (x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y$

\pr $\lm03 {\sin xy\over x}$
\pr $\lm00 (x^2+y^2)^{x^2y^2}$

\centerline{\smc Lze n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} funkce spojit\v{e} roz\v{s}\'{\i}\v{r}it na celou
rovinu ?}

\edef\quad{\qquad}
\pr ${x+y\over\sqrt{x^2+y^2}}$
\pr ${xy\over\sqrt{x^2+y^2}}$
\pr ${xy^2\over\sqrt{x^4+y^4}}$
\pr ${\sin xy\over x}$}

\oddel

{%
\centerline{\smc IV. Metrick\'e prostory  -- pokra\v{c}ov\'an\'{\i}}

\pr M\v{e}jme na mno\v{z}in\v{e} $X$ dv\v{e} metriky $\rho$ a $\sigma$, kter\'e
ur\v{c}uj\'{\i} stejn\'y pojem hranice mno\v{z}iny. Mus\'{\i} b\'yt ekvivalentn\'{\i}?

\pr Nalezn\v{e}te spo\v{c}etnou nekompaktn\'{\i} mno\v{z}inu v~$\Cal C[0,1]$.
M\accent23u\v{z}ete ji volit uzav\v{r}enou a omezenou?

\pr Je prostor $(0,1)$ \'upln\'y? Existuje na n\v{e}m ekvivalentn\'{\i}
metrika, ve kter\'e je \'upln\'y?

\pr Existuje na $[0,1]$ ekvivalentn\'{\i} metrika, v~n\'{\i}\v{z} tento prostor
nen\'{\i} omezen\'y?

\pr Existuje na $\Bbb R$ ekvivalentn\'{\i} metrika, ve kter\'e nen\'{\i}
\'upln\'y? A~co na $[-1,1]$?

\pr Existuje na $\Bbb R$ ekvivalentn\'{\i} metrika, ve kter\'e je \'upln\'y
a omezen\'y? M\accent23u\v{z}eme po\v{z}adovat tot\'aln\'{\i} omezenost?

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} mno\v{z}ina je kompaktn\'{\i},
$M = \{(x_n)_{n=1}^{+\infty} \in \ell_2; |x_n| \le
\frac 1n \}.$

\pr Uka\v{z}te, \v{z}e prostor $\ell_2$ je separabiln\'{\i} a jeho jednotkov\'a koule
nen\'{\i} tot\'aln\v{e} omezen\'a.

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e sjednocen\'{\i} kone\v{c}n\v{e} mnoha \v{r}\'{\i}dk\'ych mno\v{z}in je \v{r}\'{\i}dk\'a
mno\v{z}ina.
}

\oddel

{%
\centerline{\smc V. Metrick\'e prostory po\v{c}tvrt\'e}

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e $\Bbb R$ s~obvyklou metrikou je separabiln\'{\i}. Je
ka\v{z}d\'a podmno\v{z}ina $\Bbb R$ separabiln\'{\i}?

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e sou\v{c}in kone\v{c}n\v{e} mnoha separabiln\'{\i}ch prostor\accent23u je
separabiln\'{\i}. Jak je to pro spo\v{c}etn\v{e} mnoho (nap\v{r}. ${\Bbb R}^{\Bbb
N}$ s~metrikou $\rho(x,y)=\sum\frac1{2^k}\min(|x_k-y_k|,1)$)?

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e $\Cal C[0,1]$ je separabiln\'{\i}.

\pr Nech\softt{} $\rho$ je euklidovsk\'a metrika na $\Bbb R^2$, $\sigma$
takov\'a metrika na $\Bbb R^2$, \v{z}e existuj\'{\i} $c,C>0$, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e
$x,y\in\Bbb R^2$ plat\'{\i} $c\rho(x,y)\le\sigma(x,y)\le C\rho(x,y)$,
a $a\in\Bbb R^2$ je libovoln\'e. Lze funkce
$f(x)={\sigma(x,a)\over\rho(x,a)}$ a
$g(x)=\left(\sigma(x,a)\right)^{\rho(x,a)}$ spojit\v{e} roz\v{s}\'{\i}\v{r}it na
celou rovinu?}

%\oddel
\newpage

{%
\centerline{\smc VI. Zkoumejte existenci a hodnotu parci\'aln\'{\i}ch
derivac\'{\i} a diferenci\'alu}
\centerline{\smc (ev. spojit\v e
dodefinovan\'e, lze-li to ud\v elat) funkce $f(x,y)=$}

\pr $\sqrt{x^2+y^2}$
\pr $\root 3 \of{x+y^2}$
\pr $\arctg{x+y\over 1-xy}$
\pr $\root 3\of{x^2+y}\cdot\ln(x^2+y^2)$
\pr $|x|\cdot|y|$
\pr $\root 3\of {xy}$

\pr $\root 3\of {x^3+y^3}$
\pr $(x^2+y^2)\sin{1\over x^2+y^2}$
\pr $e^{-1\over x^2+y^2+xy}$
\pr ${x^2y(|x|+|y|)\over x^4+y^2}$

\pr Nech\softt{} $f(x,y)=xy{x^2-y^2\over x^2+y^2},\,f(0,0)=0$. Spo\v{c}t\v{e}te
${\partial^2f\over\partial x\partial y}(0,0)$ a
${\partial^2f\over\partial y\partial x}(0,0)$.

\centerline{\smc Spo\v ct\v ete p\v ribli\v zn\v e tak, \v ze
nahrad\'ite}
\centerline{\smc p\v r\'\i
r\accent23ustek vhodn\'e funkce jej\'\i m diferenci\'alem}

\pr${1.03^2\over\root 3 \of { 0.98 \root 4 \of {1.05^3}}}$
\pr $\sqrt{1.02^3+1.97^3}$  \pr $0.97^{1.05}$
\pr $1.04^{2.02}$
\pr $1.002\cdot 2.003^2\cdot 3.004^3$
\pr $\ln(\root 3\of {1.03} +\root 4\of{0.98}-1)$}

%\newpage
\oddel

{%
\centerline{\smc VII. Funkce v\'{\i}ce prom\v{e}nn\'ych -- derivace, slo\v{z}en\'e
funkce}

\pr Spo\v{c}t\v{e}te $\delta f((1,1,1),v)$, kde $v={(1,1,1)\over\sqrt 3}$
a $f(x,y,z)=x^y+y^z$.

\pr Nech\softt{} $f(s,t)$ je kladn\'a funkce t\v{r}\'{\i}dy $\Cal C^1$ na $\Bbb
R^2$. Vyj\'ad\v{r}ete parci\'aln\'{\i} derivace 1. \v{r}\'adu funkce $g$ pomoc\'{\i}
hodnot a %parci\'aln\'{\i}ch
derivac\'{\i} funkce $f$, pokud je
(a) $g(x,y)=f(x,y)^{f(x,y)}$, b) $g(x,y)=f(x,y)^{f(y,x)}$.

\pr Nech\softt{} $f$ m\'a diferenci\'al v~bod\v{e} $(1,1)$ a nech\softt{}
$f(1,1)=f'_1(1,1)=1$, $f'_2(1,1)=2$. Polo\v{z}me
$g(t,u)=f(f(u,t),f(t,u))$. Spo\v{c}t\v{e}te ${\partial g\over\partial
t}(1,1)$.

\pr Nech\softt{} $f(r,\varphi)=g(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$, funkce $g$
m\'a diferenci\'al v~bod\v{e} $(1,1)$, ${\partial f\over\partial
r}(\sqrt2,\frac\pi4)=0$,
${\partial f\over\partial\varphi}(\sqrt 2,\frac\pi4)=4$. Spo\v{c}t\v{e}te
$g'_1(1,1),\,g'_2(1,1)$.

\pr P\v{r}eve\softd{}te do pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic rovnici
a) $x\cdot\pdy u+y\cdot\pdx u=0$,
b) $\pd{^2u}{x^2}+\pd{^2u}{y^2}=0$.

*\pr P\v{r}eve\softd{}te do sf\'erick\'ych sou\v{r}adnic rovnici
$\pd{^2u}{x^2}+\pd{^2u}{y^2}+\pd{^2u}{z^2}=0$.

\pr Transformujte do pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic rovnici
${\d y\over\d x}={x+y\over x-y}$ (t.j. napi\v{s}te odpov\'{\i}daj\'{\i}c\'{\i}
rovnici pro $r=r(\varphi)$).

\pr Spo\v{c}\'{\i}tejte sm\v{e}rov\'e derivace normy ve v\v{s}ech bodech prostoru
a) $c_0$, *b) $\Cal C[0,1]$, c) $\ell^2$, a charakterizujte body,
v~nich\v{z} m\'a norma diferenci\'al (resp. G\^ateauxovu derivaci).

\pr Nech\softt{} $X$ je normovan\'y line\'arn\'{\i} prostor. Co lze \v{r}\'{\i}ci
o~derivaci normy v~bod\v{e} 0? A~co pro funkci $f(x)=\Vert x\Vert^2$?
}

\oddel

{\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo II/1 -- prvn\'{\i} verze}

\medskip

\pr Nech\softt{} \quad $f(x,y)=\cases {|xy|^{1+\alpha}\over x^2+y^2} & \text{m\'a-li
tento v\'yraz smysl,} \\
0 & (x,y)=(0,0),\endcases$ \quad kde $\alpha\in\Bbb R$ je parametr.

\smallskip

a) Ur\v{c}ete, pro kter\'a $\alpha$ je $f$ spojit\'a v~bod\v{e} $(0,0)$.
\hfill (8 bod\accent23u)

b) Spo\v{c}t\v{e}te $\pdx f(0,0)$ a $\pdy f(0,0)$ pro v\v{s}echna $\alpha$,
pro n\v{e}\v{z} tyto derivace existuj\'{\i}. \hfill (6 bod\accent23u)

c) Ur\v{c}ete, pro kter\'a $\alpha$ m\'a $f$ v~bod\v{e} $(0,0)$ diferenci\'al.
\hfill (8 bod\accent23u)

\medskip

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Ozna\v{c}me $\beta=1+\alpha$. Pokud $\beta\ge0$, je
$f$ definov\'ana na cel\'e rovin\v{e}, pokud $\beta<0$, nen\'{\i} definov\'ana
na os\'ach (s~v\'yjimkou po\v{c}\'atku, kde je dodefinov\'ana dle zad\'an\'{\i}).

a) Aby $f$ byla spojit\'a v~$(0,0)$, mus\'{\i} b\'yt definov\'ana na n\v{e}jak\'em
okol\'{\i} $(0,0)$, tedy nutn\v{e} $\beta\ge 0$. Pak, proto\v{z}e v\'{\i}me, \v{z}e
$|xy|\le\frac12(x^2+y^2)$, plat\'{\i}
$$f(x,y)={|xy|^\beta\over x^2+y^2}\le{ \left({x^2+y^2\over
2}\right)^\beta\over x^2+y^2}={\left(x^2+y^2\right)^{\beta-1}\over
2^\beta},$$
co\v{z} m\'a z\v{r}ejm\v{e} limitu $0$, pokud $\beta>1$.

\newpage

 V~p\v{r}\'{\i}pad\v{e}, \v{z}e
$\beta\le 1$, spo\v{c}t\v{e}me limitu po p\v{r}\'{\i}mce $y=x$, tedy
$$f(x,x)={|x|^{2\beta}\over 2x^2}={|x|^{2(\beta-1)}\over 2},$$
co\v{z} pro $x\to 0$ m\'a limitu $\frac12$, pokud $\beta=1$ a
$+\infty$, pokud $\beta<1$. Odtud plyne, \v{z}e $f$ je spojit\'a
v~$(0,0)$, pr\'av\v{e} kdy\v{z} $\beta>1$ (tj. $\alpha>0$).

b) Proto\v{z}e pro $\beta<0$ nen\'{\i} $f$ definov\'ana na os\'ach (s~v\'yjimkou
$(0,0)$), nem\'a smysl pro tato $\beta$ mluvit o~parci\'aln\'{\i}ch
derivac\'{\i}ch v~po\v{c}\'atku. Pokud $\beta=0$, je $f(x,0)=\frac{1}{x^2}$,
co\v{z} nem\'a derivaci v~$0$ (nebo\softt{} to tam, jako\v{z}to funkce jedn\'e
prom\v{e}nn\'e, m\'a nekone\v{c}nou limitu). Podobn\v{e} pro $f(0,y)$.
Pokud $\beta>0$, pak $f(x,0)=f(0,y)=0$ pro v\v{s}echna $x,y$, a tedy
z\v{r}ejm\v{e} parci\'aln\'{\i} derivace jsou nulov\'e.

Shrnut\'{\i}: Pro $\beta>0$ je $\pdx f(0,0)=\pdy f(0,0)=0$, pro
$\beta\le 0$ \v{z}\'adn\'a z~derivac\'{\i} neexistuje.

%\newpage

c) M\'a-li $f$ diferenci\'al, mus\'{\i} m\'{\i}t parci\'aln\'{\i} derivace, tedy
$\beta>0$, a podle \v{c}\'asti b) je diferenci\'al nulov\'y. P\v{r}itom nulov\'e
zobrazen\'{\i} je diferenci\'alem, plat\'{\i}-li rovnost
$$\lim_{\smallmatrix x\to 0\\ y\to
0\endsmallmatrix}{{|xy|^\beta\over x^2+y^2}\over \sqrt
{x^2+y^2}}=0.$$
Stejn\v{e} jako v~a) dok\'a\v{z}eme, \v{z}e
$${{|xy|^\beta\over x^2+y^2}\over \sqrt {x^2+y^2}}\le
{\left(x^2+y^2\right)^{\beta-\frac32}\over
2^\beta},$$
a tedy pro $\beta>\frac32$ skute\v{c}n\v{e} je p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'a limita nulov\'a a
pro $\beta\le\frac32$ limita pro $y=x$ nulov\'a nevyjde.

Shrnut\'{\i}: $f$ m\'a diferenci\'al v~$(0,0)$, pr\'av\v{e} kdy\v{z}
$\beta>\frac32$.

\medskip

\pr Nech\softt{} diferencovateln\'e funkce $r(x,y)$ a $\phi(x,y)$ spl\v{n}uj\'{\i}
rovnice $x= e^r\cos\phi,\,y=e^{7r}\sin\phi$. Vyj\'ad\v{r}ete $\pdx r$ a
$\pdx\phi$ pomoc\'{\i} hodnot funkc\'{\i} $r$ a $\phi$.\hfill (14 bod\accent23u)

\medskip

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Ob\v{e} rovnice zderivujme podle $x$ a dostaneme:

$$\align
 1 =& e^r \cdot \pdx r\cdot \cos\phi - e^r \sin\phi\cdot\pdx\phi
\\ 0 =& 7 e^{7r} \pdx r\cdot\sin\phi+e^{7r}\cos\phi\cdot\pdx\phi,\\
\text{neboli}\qquad\qquad& \\
 e^{-r} =&  \pdx r\cdot \cos\phi -  \sin\phi\cdot\pdx\phi
\\ 0 =& 7 \pdx r\cdot\sin\phi+\cos\phi\cdot\pdx\phi.
\endalign$$

Pokud prvn\'{\i} rovnici vyn\'asob\'{\i}me $\cos\phi$, druhou $\sin\phi$ a
se\v{c}teme, dostaneme
$$e^{-r}\cos\phi=\pdx r(\cos^2\phi+7\sin^2\phi),$$
tedy
$$\pdx r={e^{-r}\cos\phi\over 1+6\sin^2\phi}.$$
Pokud od $7\sin\phi$-n\'asobku prvn\'{\i} rovnice ode\v{c}teme
$\cos\phi$-n\'asobek druh\'e rovnice, dostaneme analogicky jako v\'y\v{s}e
$$\pdx \phi={-7e^{-r}\sin\phi\over 1+6\sin^2\phi}.$$

\medskip
\newpage

\pr P\v{r}eve\softd{}te do pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic rovnici $x\pdx u+y\pdy
u=0$.\hfill (14 bod\accent23u)

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm P\v{r}eveden\'{\i} do pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic znamen\'a zaveden\'{\i}
nov\'e funkce $v$, kter\'a spl\v{n}uje
$v(r,\phi)=u(r\cos\phi,r\sin\phi)$.
Pak pro parci\'aln\'{\i} derivace plat\'{\i} vztah:
$$\align \pd vr &= \pdx u\cdot\cos\phi+\pdy u\cdot\sin\phi \\
\pd v\phi &= \pdx u\cdot (-r\sin\phi) +\pdy u\cdot r\cos\phi,\\
\text{neboli}\qquad\qquad & \\
\pd vr &= \pdx u\cdot\cos\phi+\pdy u\cdot\sin\phi \\
\frac1r\pd v\phi &= -\pdx u\cdot \sin\phi +\pdy u\cdot\cos\phi.
\endalign$$
Vyj\'ad\v{r}\'{\i}me-li z~t\v{e}chto dvou rovnic $\pdx u$ a $\pdy u$, dostaneme
$$\align \pdx u~&= \pd vr\cdot\cos\phi-\frac1r\pd
v\phi\cdot\sin\phi \text{, a} \\
\pdy u~&= \pd vr\cdot\sin\phi+\frac1r\pd v\phi\cdot\cos\phi.
\endalign$$
Dosazen\'{\i}m spo\v{c}\'{\i}t\'ame
$$\align x\pdx u+y\pdy u=r\cos\phi\left(\pd vr\cdot\cos\phi-\frac1r\pd
v\phi\cdot\sin\phi\right)+r\sin\phi\left(\pd vr\cdot\sin\phi+\frac1r\pd
v\phi\cdot\cos\phi\right)=r\cdot\pd vr.\endalign$$
Tedy na\v{s}e rovnice v~pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic\'{\i}ch m\'a tvar $r\pd vr=0$,
neboli $\pd vr=0$ (proto\v{z}e $r>0$).
}

\oddel

{\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo II/1 -- druh\'a verze}

\medskip

\pr Nech\softt{} \quad $f(x,y)=\cases {|xy|^{1-\alpha}\over x^2+y^2} & \text{m\'a-li
tento v\'yraz smysl,} \\
0 & (x,y)=(0,0),\endcases$ \quad kde $\alpha\in\Bbb R$ je parametr.

\smallskip

a) Ur\v{c}ete, pro kter\'a $\alpha$ je $f$ spojit\'a v~bod\v{e} $(0,0)$.
\hfill (8 bod\accent23u)

b) Spo\v{c}t\v{e}te $\pdx f(0,0)$ a $\pdy f(0,0)$ pro v\v{s}echna $\alpha$,
pro n\v{e}\v{z} tyto derivace existuj\'{\i}. \hfill (6 bod\accent23u)

c) Ur\v{c}ete, pro kter\'a $\alpha$ m\'a $f$ v~bod\v{e} $(0,0)$ diferenci\'al.
\hfill (8 bod\accent23u)

\medskip

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Polo\v{z}me $\beta=1-\alpha$ a pokra\v{c}ujme jako
v~prvn\'{\i} verzi.

\medskip
\newpage

\pr Nech\softt{} diferencovateln\'e funkce $r(x,y)$ a $\phi(x,y)$ spl\v{n}uj\'{\i}
rovnice $x= e^r\cos\phi,\,y=e^{7r}\sin\phi$. Vyj\'ad\v{r}ete $\pdy r$ a
$\pdy\phi$ pomoc\'{\i} hodnot funkc\'{\i} $r$ a $\phi$.\hfill (14 bod\accent23u)

\medskip

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Stejn\'e jako v~prvn\'{\i} verzi, jen se derivuje podle
$y$.
$$\align
 0 =& e^r \cdot \pdy r\cdot \cos\phi - e^r \sin\phi\cdot\pdy\phi
\\ 1 =& 7 e^{7r} \pdy r\cdot\sin\phi+e^{7r}\cos\phi\cdot\pdy\phi,\\
\text{neboli}\qquad\qquad& \\
 0 =&  \pdy r\cdot \cos\phi -  \sin\phi\cdot\pdy\phi
\\ e^{-7r} =& 7 \pdy r\cdot\sin\phi+\cos\phi\cdot\pdy\phi,
\\ \text{tedy}\qquad\qquad& \\
\pdy r=&{e^{-7r}\cos\phi\over 1+6\sin^2\phi}\\
\pdy \phi=&{-7e^{-7r}\sin\phi\over 1+6\sin^2\phi}.
\endalign$$

\medskip

\pr P\v{r}eve\softd{}te do pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic rovnici $x\pdy u-y\pdx
u=0$.\hfill (14 bod\accent23u)

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Stejn\v{e} jako v~prvn\'{\i} verzi vyj\'ad\v{r}\'{\i}me $\pdx u$ a
$\pdy u$ a dosad\'{\i}me
$$x\pdy u-y\pdx u= r\cos\phi\left(\pd vr\cdot\sin\phi+\frac1r\pd
v\phi\cdot\cos\phi\right)-r\sin\phi\left(\pd vr\cdot\cos\phi-\frac1r\pd
v\phi\cdot\sin\phi\right)=\pd v\phi,$$
tedy na\v{s}e rovnice m\'a v~pol\'arn\'{\i}ch sou\v{r}adnic\'{\i}ch tvar $\pd v\phi=0$.
}

\oddel

{{\let\prik\pr
\def\pr#1\right){\prik}

\smc \centerline{VIII. V n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}ch \'uloh\'ach zjist\v{e}te $\sup$ a
$\inf$ funkce na mno\v{z}in\v{e} $M$ a vy\v{s}et\v{r}ete,}
\centerline{zda t\v{e}chto hodnot funce na $M$ nab\'yv\'a.}
\rm

\pr
1\right) $f\left(x,y,z\right) = \left(x + y\right)^2 + \left(x - y\right)^2 + z; M = [-1;1] \times [-1;1] \times
   [-1;1];$

\pr
2\right) $f\left(x,y\right) = {x \over a} + {y \over b}, a > 0, b > 0;
   M = \{\left(x,y\right); x^2 + y^2 \leq 1 \};$

\pr
3\right) $f\left(x,y,z\right) = x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 6z; M = {\Bbb R}^3;$
\pr
4\right) $f\left(x,y\right) = \left(x^2 + y^2\right)e^{-\left(x^2 + y^2\right)}; M = {\Bbb R}^2;$
\pr13\right) $f\left(x,y\right) = x^2 - xy + y^2, \qquad
M = \{\left(x,y\right) \in \Bbb {\Bbb R}^2; \, |x| + |y| \leq 1\}$

\pr2\right) $f\left(x,y\right) = \left(x+y\right)e^{-2x -3y}; M = \{\left(x,y\right); x > 0, y > 0 \}$

\centerline{\smc Nalezn\v{e}te lok\'aln\'{\i} extr\'emy n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}ch funkc\'{\i} v uveden\'ych
oblastech: \rm}
\pr1\right) $f\left(x,y\right) = x^4 + y^4 - x^2 -2xy - y^2; M = {\Bbb R}^2$

\pr2\right) $f\left(x,y\right) = xy + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}; M = \{\left(x,y\right); x > 0; y
> 0 \}$

\pr3\right) $z\left(x,y\right) = x^2y^3\left(6 - x - y\right); M = \{\left(x,y\right); x > 0; y > 0\}$

\pr4\right) $z\left(x,y\right) = x^2y^3\left(6 - x - y\right); M = {\Bbb R}^2$

\pr5\right) $f\left(x,y,z\right) = x + {y^2 \over 4x} + {z^2 \over y} + {2 \over z}$,
 $M = \{\left(x,y,z\right); x > 0, y > 0, z > 0 \}.$

\pr6\right) $f\left(x,y,z\right)  = x^4 - y^4 - x^2 - 2xy -
y^2,\quad M=\Bbb R^2$

\pr8\right) Doka\v{z}te, \v{z}e funkce
$
f\left(x,y\right) = \left(1 + e^y\right)\cos x - y e^y
$
nab\'yv\'a lok\'aln\'{\i}ho maxima v nekone\v{c}n\v{e} mnoha bodech, av\v{s}ak
lok\'aln\'{\i}ho minima ani v~jednom bod\v{e}.}}

\newpage

{\let\prik\pr
\def\pr#1{\prik $f_n(x)=}
\def\e{\varepsilon}

\smc \centerline{IX. Zjist\v{e}te, zda uveden\'e posloupnosti funkc\'{\i}}

\centerline{konverguj\'{\i} stejnom\v{e}rn\v{e} na
zadan\'ych intervalech:} \rm

\pr2 x^n-x^{n+1},\,x\in<0,1>,$ \pr3 x^n-x^{2n},\,x\in<0,1>$

\pr4 {1\over x+n},\,x\in(0,+\infty)$
\noindent\pr5 {nx\over 1+n+x},\,x\in<0,1>$

\pr6 {x^n\over 1+x^n},\
a)\,x\in<0,1-\e>,\ b)\,x\in<1-\e,1+\e>,\,c)\,x\in<1+\e,+\infty)$, kde
$\e\in(0,1)$
\noindent\pr7{2nx\over 1+n^2x^2},\,a)\,x\in<0,1>,\,b)\,x\in(1,+\infty)$
\pr8 \sqrt{x^2+{1\over n^2}},\,x\in\Bbb R$

\noindent\pr9n\left(\sqrt{x+\frac1n}-\sqrt x\right),\,x\in(0,+\infty)$,
\pr{10}{\sin nx\over n},\,x\in\Bbb R$,

\noindent\pr{11}\sin\frac x n,\,x\in\Bbb R$.}

\oddel

{
\centerline{\smc X. Vy\v{s}et\v{r}ete bodovou, stejnom\v{e}rnou a lok\'aln\v{e}
stejnom\v{e}rnou}
\centerline{\smc konvergenci posloupnost\'{\i} a \v{r}ad}

\pr $\sk1 {kx\over 1+k^5x^2}$
\pr $\sk1 \log\left(1+{x^2\over k\log^2 k}\right)$
\pr $\sk1 {(-1)^k\over x+k}$
\pr $\sk1 {\sin kx\over k}$

\pr $\sk1 {\cos kx\over k}$
\pr $\sk1 {\sin x\sin kx\over\sqrt{k+x}}$
\pr $\sk1 {\cos kx\over k}\arctg(kx+k)$
\pr $\sk1 {a_k\over k^x}$, kde $a_k\in\Bbb R$

\pr $f_n(x)=(1+\frac xn)^n$

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e $f(x)=\sk1{\sin kx\over k^3}$ m\'a spojitou
derivaci na $\Bbb R$ a spojitou $f''$ na $(0,2\pi)$.

\pr Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $\zeta(x)=\sk1\frac1{k^x}$ je $\Cal
C^\infty$ na $(1,\infty)$.

\pr Nech\softt{} $f(x)=\sk1{x\over k^p+x^2 k^q}$, kde $p,q\ge 0$.
Doka\v{z}te, \v{z}e

(i) $f$ je spojit\'a na $(0,\infty)$, pokud
$\max(p,q)>1$, (ii) $f$ je spojit\'a na $\Bbb R$, pokud $p+q>2$.

\pr V kter\'ych bodech m\'a derivaci funkce
(a) $f(x)=\sk1 {(-1)^k\over k+x}$
(b) $f(x)=\sk1 {|x|\over n^2+x^2}$}
\oddel
{\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo II/2 -- prvn\'{\i} verze}

\pr Nech\softt{} $\displaystyle f(x,y)=(x-5y)e^{y-x}$ a $\displaystyle
M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x>0\ \&\ y<0\}$. Najd\v{e}te supremum a infimum
funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ a zjist\v{e}te, zda $f$ t\v{e}chto hodnot nab\'yv\'a.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Pro ka\v{z}d\'e $(x,y)\in M$ z\v{r}ejm\v{e} plat\'{\i} $f(x,y)>0$. Nav\'{\i}c
funkce $f$ je spojit\'a na cel\'em $\Bbb R^2$, a tedy $\inf f(M)=\inf
f\left(\overline M\right)$. Av\v{s}ak $\overline M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid
x\ge0\ \&\ y\le0\}$ a z\v{r}ejm\v{e} $\min f\left(\overline M\right)=0$, a tedy
$\inf f(M)=0$ a $f$ tohoto infima nenab\'yv\'a.

Nyn\'{\i} hledejme supremum. Op\v{e}t plat\'{\i} $\sup f(M)=\sup f\left(\overline
M\right)$. P\v{r}itom pro ka\v{z}d\'e $(x,y)\in \overline M$ plat\'{\i}
$$f(x,y)\le 5(x-y)e^{y-x}.$$
Uva\v{z}ujme pomocnou funkci $\varphi(t)=5te^{-t}$. V\'{\i}me, \v{z}e $\varphi$ je
spojit\'a na $\Bbb R$,  $\varphi(0)=0$ a $\lim\limits_{t\to
+\infty}\varphi(t)=0$, a
tedy $\varphi$ je omezen\'a na $[0,+\infty)$. A proto\v{z}e  pro
$(x,y)\in\overline M$ plat\'{\i} $x-y\ge0$ a $f(x,y)\le\varphi(x-y)$ (viz
v\'y\v{s}e), je $f$ na $\overline M$ omezen\'a, a tedy $s=\sup f\left(\overline
M\right)\in(0,+\infty)$. Nyn\'{\i} vyu\v{z}ijme je\v{s}t\v{e} jednou toho, \v{z}e
$\lim\limits_{t\to+\infty}\varphi(t)=0$. Pak toti\v{z} existuje $T>0$
takov\'e, \v{z}e pro $t> T$ m\'ame $\varphi(t)< \frac s2$, a tedy speci\'aln\v{e}
dostaneme
$$\sup\{f(x,y)\mid (x,y)\in\overline M\ \&\ x-y>T\}\le\frac s2.$$
Nyn\'{\i}, mno\v{z}ina
$\{(x,y)\in\overline M\mid  x-y\le T\}$ je kompaktn\'{\i}, a tedy spojit\'a
funkce $f$ na n\'{\i} nab\'yv\'a sv\'eho maxima. Toto maximum mus\'{\i} b\'yt $s$, a tedy
$f$ nab\'yv\'a na $\overline M$ sv\'eho maxima. Tud\'{\i}\v{z} sta\v{c}\'{\i} vy\v{s}et\v{r}it v\v{s}echny
\clqq podez\v{r}el\'e body\crqq.

\newpage

Nejprve najd\v{e}me podez\v{r}el\'e body v $M$. Proto\v{z}e $M$ je otev\v{r}en\'a, $f$ by v
bod\v{e} extr\'emu m\v{e}la nulov\'e parci\'aln\'{\i} derivace. Ale
$$\pdx f=(1-x+5y)e^{y-x},\qquad \pdy f=(-5+x-5y)e^{y-x},$$
a ty nemohou b\'yt ob\v{e} nulov\'e. (Jinak by toti\v{z} platilo $1=x-5y=5$.)
Tedy na $M$ funkce $f$ extr\'em\accent23u nenab\'yv\'a.

Nyn\'{\i} se pod\'{\i}vejme na hranici $M$. Tu tvo\v{r}\'{\i} dv\v{e} poloosy. Prvn\'{\i} je
ur\v{c}ena $x=0,y\le0$. P\v{r}itom $f(0,y)=-5ye^y$. Derivace t\'eto funkce (jedn\'e
prom\v{e}nn\'e) je $-5e^y(y+1)$, a ta je nulov\'a jedin\v{e} v bod\v{e} $y=-1$, a tedy
dost\'av\'ame podez\v{r}el\'y bod  $(0,-1)$, pro kter\'y plat\'{\i} $f(0,-1)=5e^{-1}$.
Pro druhou poloosu postupujme analogicky. $f(x,0)=xe^{-x}$, derivace je
$e^{-x}(1-x)$, co\v{z} je nulov\'e pr\'av\v{e} pro $x=1$. Dost\'av\'ame druh\'y podez\v{r}el\'y
bod $(1,0)$, pro kter\'y $f(1,0)=e^{-1}$. Kone\v{c}n\v{e}, posledn\'{\i} podez\v{r}el\'y bod
je krajn\'{\i} bod obou poloos $(0,0)$, ale v n\v{e}m je $f(0,0)=0$. Tedy
doch\'az\'{\i}me k z\'av\v{e}ru, \v{z}e
$$\sup f(M)=\frac5e,\quad\text{a suprema se nenab\'yv\'a.}$$

\pr Najd\v{e}te v\v{s}echny lok\'aln\'{\i} extr\'emy funkce $\displaystyle
f(x,y)=xy\log\left(2x^2+y^2\right)$.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm $f$ je definovan\'a na $\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$, co\v{z}
je otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina, na n\'{\i}\v{z} je $f$
 spojit\'a a m\'a spojit\'e parci\'aln\'{\i} derivace v\v{s}ech \v{r}\'ad\accent23u. Proto, jestli\v{z}e m\'a v
 n\v{e}jak\'em bod\v{e} lok\'aln\'{\i} extr\'em, mus\'{\i} v n\v{e}m b\'yt ob\v{e} parci\'aln\'{\i} derivace
 nulov\'e. Nejd\v{r}\'{\i}ve je spo\v{c}t\v{e}me.
$$\align
\pdx f(x,y)&=y\log\left(2x^2+y^2\right) +xy\cdot{4x\over
2x^2+y^2}=y\left(\log\left(2x^2+y^2\right)+ {4x^2\over 2x^2+y^2}\right) \\
\pdy f(x,y)&=x\log\left(2x^2+y^2\right) +xy\cdot{2y\over
2x^2+y^2}=x\left(\log\left(2x^2+y^2\right)+ {2y^2\over 2x^2+y^2}\right)
\endalign$$
Ka\v{z}d\'a z nich je sou\v{c}inem dvou v\'yraz\accent23u, a tak, maj\'{\i}-li b\'yt ob\v{e} nulov\'e,
jsou \v{c}ty\v{r}i mo\v{z}nosti:
$$\matrix \format \l\qquad&\l \\
(i)\ x=y=0 & (ii)\ x=0\ \&\ \log\left(2x^2+y^2\right)+ {4x^2\over
2x^2+y^2}=0  \\
(iii)\ y=0\ \&\ \log\left(2x^2+y^2\right)+ {2y^2\over 2x^2+y^2}=0  &
\matrix\format \r\\ (iv)\ \log\left(2x^2+y^2\right)+ {2y^2\over 2x^2+y^2}=0\\ \&\
\log\left(2x^2+y^2\right)+ {4x^2\over 2x^2+y^2}=0\endmatrix
\endmatrix$$
Mo\v{z}nost (i) nem\accent23u\v{z}e nastat, proto\v{z}e bod $(0,0)$ nepat\v{r}\'{\i} do defini\v{c}n\'{\i}ho
oboru. Z mo\v{z}nosti (ii) dostaneme $\log y^2=0$, neboli $y^2=1$, co\v{z} vede
ke dvojici podez\v{r}el\'ych bod\accent23u $(0,1)$ a $(0,-1)$.
Z mo\v{z}nosti (iii) dost\'av\'ame $\log(2x^2)=0$, tedy dvojici bod\accent23u
$(-\frac1{\sqrt2},0)$ a $(\frac1{\sqrt2},0)$. Zb\'yv\'a vy\v{s}et\v{r}it mo\v{z}nost
(iv).

Z n\'{\i} plyne ihned (ode\v{c}ten\'{\i}m obou rovnic), \v{z}e ${4x^2\over
2x^2+y^2}={2y^2\over 2x^2+y^2}$, neboli $y^2=2x^2$. Dosa\softd{}me toto
nap\v{r}\'{\i}klad do prvn\'{\i} rovnice, a vyjde n\'am
$$\align
\log\left(2x^2+2x^2\right)+{4x^2\over 2x^2+2x^2}=&0 \\
\log\left(4x^2\right)=&-1 \\
x^2=&\frac1{4e} \endalign$$

\newpage

Podle p\v{r}edchoz\'{\i}ho pak plat\'{\i} $y^2=\frac1{2e}$. Snadn\'ym dosazen\'{\i}m ov\v{e}\v{r}\'{\i}me,
\v{z}e skute\v{c}n\v{e} rovnosti v mo\v{z}nosti (iv) plat\'{\i}, kdykoli $x^2=\frac1{4e}$ a
$y^2=\frac1{2e}$. To d\'av\'a \v{c}ty\v{r}i podez\v{r}el\'e body $\left(\frac1{2\sqrt e},\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$, $\left(-\frac1{2\sqrt e},\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$, $\left(\frac1{2\sqrt e},-\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$, $\left(-\frac1{2\sqrt e},-\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$.

Abychom zjistili, ve kter\'ych z podez\v{r}el\'ych bod\accent23u jseu extr\'emy, vy\v{s}et\v{r}\'{\i}me
druh\'y diferenci\'al. Spo\v{c}\-t\v{e}\-me tedy druh\'e parci\'aln\'{\i} derivace:
$$\align
\pd{^2f}{x^2}(x,y)&=y\left({4x\over 2x^2+y^2}+{8x(2x^2+y^2)-4x^2\cdot4x
\over (2x^2+y^2)^2}\right)={4xy\over 2x^2+y^2}\cdot\left(1+{4y^2\over
2x^2+y^2}\right) \\
\pd{^2f}{y^2}(x,y)&=x\left({2x\over 2x^2+y^2}+{4y(2x^2+y^2)-2y^2\cdot2y
\over (2x^2+y^2)^2}\right) = {2xy\over 2x^2+y^2}\cdot\left(1+{4x^2\over
2x^2+y^2}\right) \\
\pd{^2f}{x\partial y}(x,y)&=\log\left(2x^2+y^2\right)+{4x^2\over
2x^2+y^2}+y\left({2y\over 2x^2+y^2}+{4x^2\cdot 2y\over
(2x^2+y^2)^2}\right)\\ &=\log\left(2x^2+y^2\right)+2+{8x^2y^2\over
(2x^2+y^2)^2}
\endalign$$

V bodech $(0,1)$ a $(0,-1)$ m\'a druh\'y diferenci\'al matici $\pmatrix 0 & 2
\\ 2 & 0 \endpmatrix$, co\v{z} je z\v{r}ejm\v{e} indefinitn\'{\i} (p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'a kvadratick\'a
forma je $(h_1,h_2)\mapsto 4h_1h_2$, tak\v{z}e nap\v{r}\'{\i}klad v bod\v{e} $(1,1)$ je
kladn\'a a v bod\v{e} $(-1,1)$ z\'aporn\'a). Tak\v{z}e v t\v{e}chto bodech nen\'{\i} extr\'em. V
bodech $(-\frac1{\sqrt2},0)$ a $(\frac1{\sqrt2},0)$ vyjde matice
druh\'eho diferenci\'alu stejn\v{e}, a tak ani v t\v{e}chto bodech nen\'{\i} extr\'em.

V bodech $\left(\frac1{2\sqrt e},\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$ a  $\left(-\frac1{2\sqrt e},-\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$ m\'a matice druh\'eho diferenci\'alu tvar $\pmatrix
3\sqrt2 & 2 \\ 2 & 2\sqrt2\endpmatrix$, je tedy pozitivn\v{e} definitn\'{\i}
(determinant je $8$, tedy kladn\'y, a rovn\v{e}\v{z} $3\sqrt 2>0$), v t\v{e}chto
bodech je tedy ostr\'e lok\'aln\'{\i} minimum. Jeho hodnota je v obou p\v{r}\'{\i}padech
$-{1\over 2e\sqrt2}$.

V bodech
$\left(-\frac1{2\sqrt e},\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$ a $\left(\frac1{2\sqrt e},-\frac
1{\sqrt{2e}}\right)$ m\'a matice druh\'eho diferenci\'alu tvar $\pmatrix
-3\sqrt2 & 2 \\ 2 & -2\sqrt2\endpmatrix$, je tedy negativn\v{e} definitn\'{\i}
(determinant je $8$, tedy kladn\'y, a p\v{r}itom $-3\sqrt 2<0$), v t\v{e}chto
bodech je tedy ostr\'e lok\'aln\'{\i} maximum. Jeho hodnota je v obou p\v{r}\'{\i}padech
${1\over 2e\sqrt2}$.

\pr Polo\v{z}me $\displaystyle f(x)=\sk2{1\over k(k-1)\cdot\log k\cdot k^x}$.
Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je definov\'ana na n\v{e}jak\'em okol\'{\i} $0$ a spo\v{c}t\v{e}te
$f'(0)$.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Z\v{r}ejm\v{e} plat\'{\i}
$$\lim_{k\to\infty}{{1\over k(k-1)\cdot\log k\cdot k^x}\over{1\over
k^{x+2}}}=\lim_{k\to\infty}{k^2\over k(k-1)\log k}=0,$$
a tak pro $x>-1$ \v{r}ada, j\'{\i}\v{z} je  definov\'ana $f$, konverguje. Tud\'{\i}\v{z} $f$ je
definov\'ana alespo\v{n} na $(-1,+\infty)$, tedy rozhodn\v{e} na n\v{e}jak\'em okol\'{\i}
$0$. (Lze snadno uk\'azat, \v{z}e pro jin\'a $x$ \v{r}ada nekonverguje, ale to n\'as v
tomto p\v{r}\'{\i}kladu nezaj\'{\i}m\'a.) Chceme spo\v{c}\'{\i}tat $f'(0)$, a tak zkusme, zda
na\v{s}i \v{r}adu lze derivovat \v{c}len po \v{c}lenu. Nejprve spo\v{c}t\v{e}me derivaci
$k$-t\'eho \v{c}lenu.
$$\align\left({1\over k(k-1)\cdot\log k\cdot k^x}\right)' &=
{1\over k(k-1)\cdot\log k} \cdot \left(\left(\frac1k\right)^x\right)'=
{1\over k(k-1)\cdot\log k} \cdot \log\frac1k \cdot \left(\frac1k\right)^x
\\ &={-1\over k(k-1)\cdot k^x}.\endalign$$

\newpage

Pokud $x\ge-\frac12$, plat\'{\i}
$$\left|{-1\over k(k-1)\cdot k^x}\right| \le {1\over\sqrt k(k-1)},$$
p\v{r}i\v{c}em\v{z} \v{r}ada $\sk2{1\over\sqrt k(k-1)}$  konverguje, a tedy \v{r}ada
derivac\'{\i} $\sk2{-1\over k(k-1)\cdot k^x}$ konverguje stejnom\v{e}rn\v{e} na
intervalu $(-\frac12,+\infty)$. A tedy na tomto intervalu plat\'{\i}
$$ f'(x)=\sk2{-1\over k(k-1)\cdot k^x}.$$
(Tato rovnost plat\'{\i} i na $(-1,+\infty)$, ale to n\'as nyn\'{\i} nezaj\'{\i}m\'a.) Tedy
 $$ f'(0)=\sk2{-1\over k(k-1)}=\sk2\left(-{1\over k-1}+\frac1k\right)=-1.$$

}
\oddel
{\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo II/2 -- druh\'a verze}

\pr Nech\softt{} $\displaystyle f(x,y)=(x-3y)e^{x-y}$ a $\displaystyle
M=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x<0\ \&\ y>0\}$. Najd\v{e}te supremum a infimum
funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ a zjist\v{e}te, zda $f$ t\v{e}chto hodnot nab\'yv\'a.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Analogicky jako v prvn\'{\i} verzi je vid\v{e}t, \v{z}e $\sup f(M)=0$
a tohoto suprema se nenab\'yv\'a. S pou\v{z}it\'{\i}m nerovnosti
$$0\ge f(x,y)\ge 3(x-y)e^{x-y},\quad (x,y)\in\overline M,$$
op\v{e}t dok\'a\v{z}eme, \v{z}e $f$ je na $\overline M$ omezen\'a a nab\'yv\'a tam sv\'eho
minima. Zase n\'am vyjdou podez\v{r}el\'e body $(0,0)$, $(0,1)$ a $(-1,0)$,
p\v{r}i\v{c}em\v{z} nejni\v{z}\v{s}\'{\i} hodnota $-\frac3e$ se nab\'yv\'a v bod\v{e} $(-1,0)$. Tedy
$$\inf f(M)=-\frac3e,\qquad\text{hodnota se na $M$ nenab\'yv\'a}.$$

\pr Najd\v{e}te v\v{s}echny lok\'aln\'{\i} extr\'emy funkce $\displaystyle
f(x,y)=xy\log\left(x^2+2y^2\right)$.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Stejn\'e jako v prvn\'{\i} verzi, se zam\v{e}n\v{e}n\'ymi $x$ a $y$.

\pr Polo\v{z}me $\displaystyle f(x)=\sk2{1\over k(k+1)\cdot\log k\cdot k^x}$.
Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je definov\'ana na n\v{e}jak\'em okol\'{\i} $0$ a spo\v{c}t\v{e}te
$f'(0)$.

\bf \v{R}e\v{s}en\'{\i}. \rm Ze stejn\'ych d\accent23uvod\accent23u jako v prvn\'{\i} verzi plat\'{\i} pro
$x>-\frac12$ rovnost
$$ f'(x)=\sk2{-1\over k(k+1)\cdot k^x},$$
a tedy
$$ f'(0)=\sk2{-1\over k(k+1)}=\sk2\left(-{1\over
k}+\frac1{k+1}\right)=-\frac12.$$


}

\end
