I. Rozviňte následující funkce ve Fourierovu řadu na daných intervalech

1. sinx a) na [0, π], b) na [−1, 1], c) na [0, 1]. 2. x a) na [0, 1], b) v lichou řadu na [0, 1],

c) v sudou řadu na [0, 1]. 3. x^{2} a) na [0, 1], b) v lichou řadu na [0, 1], c) v sudou řadu na [0, 1].

4. sgnx na [a, b], kde a < b.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) \frac{2}{π} − ∑_{n=1}^{∞} \frac{4}{π(4n^{2} −1)} cos2nx, b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1} ·2nπ}{n^{2} π^{2} −1} · sin1 · sinnπx, c)

1 − cos1 + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{2(cos1−1)}{4π^{2} n^{2} −1} · cos2nπx − \frac{4πn sin 1}{4π^{2} n^{2} −1} sin2nπx). 2. a) \frac{1}{2} − ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin 2nπx}{nπ}, b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2·(−1)^{n+1}}{nπ} ·

sinnπx, c) \frac{1}{2} + 2 · ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}−1}{n^{2} π^{2}} · cosnπx. 3. a) \frac{1}{3} + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{cos 2nπx}{n^{2} π^{2}} − \frac{sin2nπx}{nπ} ),

b) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{2·(−1)^{n+1}}{nπ} − \frac{4(1−(−1)^{n})}{n^{3} π^{3}} ) sinnπx, c) \frac{1}{3} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{4·(−1)^{n}}{n^{2} π^{2}} cosnπx. 4. 1, pokud a ≥ 0; −1, pokud

b ≤ 0; pokud a < 0 < b, pak \frac{b+a}{b−a}+ ∑_{n=1}^{∞} (sin \frac{2nπa}{b−a} + sin \frac{2nπb}{b−a} ) \frac{cos \frac{2nπx}{b−a}}{nπ} +(2 − cos \frac{2nπa}{b−a} − cos \frac{2nπb}{b−a} ) \frac{sin \frac{2nπx}{b−a}}{nπ} .

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

II. FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ A FUNKCE ABSOLUTNĚ SPOJITÉ 1. Necht’ funkce f, g mají konečnou variaci na [a, b], a c ∈ ℝ. Co lze říci o variaci funkcí f + g, f · g, cf, max(f, g), \frac{f}{g} ? 2. Tytéž otázky pro absolutně spojité funkce. zjistěte, zda následující funkce mají konečnou variaci, a zda jsou absolutně spojité

pokud to lze, vyjádřete je jako rozdíl dvou neklesajících funkcí

3. f(x) = sinx a) na [0, π], b) na [0, R]. 4. f(x) = \{ \begin{matrix}x^{α} sin \frac{1}{x} & x ∈ (0, 1], \\ 0 & x = 0. \end{matrix}

5. f(x) = g(x) · D(x), kde D je Dirichletova funkce, t.j. D(x) = \{ \begin{matrix}1 & x ∈ ℚ, \\ 0 & x ∈ ℝ \ ℚ. \end{matrix}

6. f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{3}} na [0, 2π]. 7. f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{2}} a) na [c, 2π − c], b) na [0, 2π].

8. f(x) = dist(x, C), kde C ⊂ [0, 1] je Cantorovo diskontinuum (nebo jiná množina), na [−2, 2].

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. Platí V (f + g) ≤ V (f) + V (g), V (cf) = |c|V (f), V (f · g) ≤ V (f) · sup|g| + V (g) · sup|f|, V (max(f, g)) ≤ V (f) + V (g), V (\frac{f}{g}) ≤ V (f) · sup \frac{1}{|g|} + V (g) · sup|f| · sup \frac{1}{g^{2}} , pokud je g ţodražená od nuky�, t.j. pokud \frac{1}{g} je omezená. 2. f + g, f · g, cf, max(f, g) jsou absolutně spojité, \frac{f}{g} také, pokud \frac{1}{g} je omezená. 3. a) Variace je 2, f je AC, např. proto, že má omezenou derivaci (cos). b) Analogicky jako v a). 4. Pro α ≤ 1 není BV (z definice). Pro α > 1 je BV, nebot’ ∫_{0}^{1} |f′| konverguje. Z téhož důvodu je AC. Rozklad f = g − h, kde např.

g(x) = ∫_{0}^{x} |f′| a h = ∫_{0}^{x}(|f′| − f′). 5. V (f, [a, b]) = |f(a)| + |f(b)| + 2 · ∑_{q∈ℚ∩(a,b)} |g(q)|, tedy f

je BV, právě když ∑_{q∈ℚ∩(a,b)} |g(q)| < ∞. f je AC, právě když g = 0 na ℚ (t.j. f = 0). Rozklad

f = f_{1} − f_{2}, kde např. f_{1}(x) = ∑_{\begin{matrix}q∈ℚ \\ q≤x \end{matrix}} |g(q)|, f_{2} = f_{1} − f. 6. f je BV i AC. Např. f ∈ C^{1}[0, 2π].

7. f je C^{1} na (0, 2π). Proto a) je BV i AC na [c, 2π − c]. b) Je též BV i AC, nebot’ má omezenou derivaci na (0, 2π). 8. Ukažte, že f je 1-lipschitzovská, a tedy BV i AC.

III. Kurzweilův integrál

1. Necht’ {x ∈ [a, b] | f(x) ≠ 0} je lebesgueovsky nulová množina. Dokažte, že (K) ∫_{a}^{b} f(x) = 0.

2. Necht’ A ⊂ [0, 1] je lebesgueovsky měřitelná množina. Spočtěte (K) ∫_{0}^{1} χ_{A}, kde χ_{A} je charakteristická funkce množiny A.

3. Pro které množiny A ⊂ [0, 1] existuje Riemannův integrál (R) ∫_{0}^{1} χ_{A}?

4. Existuje (K) ∫_{0}^{1} χ_{A}, pokud A ⊂ [0, 1] je lebesgueovsky neměřitelná?

5. Necht’ f je neklesající na [0, 1]. Existuje (K) ∫_{0}^{1} f?

6. Najděte funkci, pro kterou existuje (K) ∫_{0}^{1} f, ale a) neexistuje (L) ∫_{0}^{1} f, b) neexistuje (L) ∫_{ε}^{1−ε} f pro malá ε.

7. Najděte funkci f, pro níž existuje (K) ∫_{0}^{1} f, ale pro každé ε > 0 existuje δ ∈ (0, ε), že (L) ∫_{δ}^{ε} f neexistuje.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. Nejdříve dokažte pro f omezenou. Využijte regularitu Lebesgueovy míry (což zde znamená možnost pokrytí nulové množiny otevřenou množinou libovolně malé míry). Pak tento postup použijte pro nulové množiny {x : |f(x)| ≤ n} pro n ∈ ℕ. 2. λ(A) (λ značí Lebesgueovu míru). Využijte regularity Lebesgueovy míry – aproximujte A shora otevřenou a zdola uzavřenou množinou blízké míry. 3. Právě pro takové, že [0, 1] \ (intA ∪ int([0, 1] \ A)) je lebesgueovsky nulová množina. Nejprve zkoumejte případ, kdy intA = ∅, kdy uvedená podmínka znamená λ(\overline{A}) = 0. 4. Neexistuje. Využije se Bolzano-Cauchyho podmínka pro Kurzweilův integrál, to, že λ_{∗}(A) < λ^{∗}(A), a Vitaliova věta o pokrytí. 5. Existuje. Využijte toho, že množina bodů nespojitosti f je spočetná, BC podmínky a například aproximace po částech konstantní funkcí na velké množině. 6. a) Například zvolte f, že má neabsolutně konvergentní Newtonův integrál, nebo ji sestrojte na vhodných množinách konstantní s použitím nějaké neabsolutně konvergentní řady. b) Vhodně posuňte funkci z a). 7. ”Slepte” vhodně posloupnost funkcí z předchozího příkladu.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

IV. Hilbertovy prostory

1. a) Spočtěte min_{a,b,c∈ℝ} ∫_{−1}^{1} |x^{3} − a − bx − cx^{2} |^{2} dx, a určete všechny trojice a, b, c, v nichž se minima

nabývá. b) Najděte reálnou funkci g, která splňuje ∫_{−1}^{1} g(x) = ∫_{−1}^{1} xg(x) = ∫_{−1}^{1} x^{2}g(x) = 0, ∫_{−1}^{1} |g(x)|^{2} dx = 1 a pro níž je ∫_{−1}^{1} x^{3}g(x) maximální.

2. Stejná úloha jako v předchozím příkladě, jen a, b, c ∈ ℂ a g je komplexní.

3. Spočtěte min_{a,b,c∈ℝ} ∫_{0}^{∞} |x^{3} − a − bx − cx^{2} |^{2} e^{−x} dx, a určete všechny trojice a, b, c, v nichž se minima

nabývá. Zformulujte a zodpovězte otázku analogickou úloze b) v předchozích příkladech.

4. Necht’ H je Hilbertův prostor, M ⊂ H uzavřený podprostor a x_{0} ∈ H. Dokažte, že min{∥x−x_{0}∥ | x ∈ M} = max{|(x_{0}, y)| | y ∈ M^{⊥}, ∥y∥ = 1}.

5. Necht’ M ⊂ H (H je H-prostor). Co lze říci o množině (M^{⊥})^{⊥} ?

Test číslo 3

1. (25 bodů) Necht’ f(x) = dist(x, A) · dist([x, 0], B), kde A je Cantorovo diskontinuum v intervalu [0, 1] a B je graf funkce sin na intervalu [0, 2π]. (Symbol dist označuje vzdálenost na přímce, respektive v rovině.)

a) Ukažte, že každá z funkcí x ↦ dist(x, A) a x ↦ dist([x, 0], B) je lipschitzovská na [0, 2π]. S jakou konstantou?

b) Je funkce f též lipschitzovská?

c) Co můžete říci o konvergenci Fourierovy řady funkce f na intervalu [0, 2π]? (Použijte Jordan-Dirichletovo kritérium.)

2. (25 bodů) Najděte a, b ∈ ℝ taková, aby ∫_{−1}^{1} |1 − a cosx − b sinx|^{2} e^{x} dx bylo nejmenší.

3. (25 bodů) Necht’ M = \{x = (x_{n}) ∈ ℓ_{2} | ∑_{n=1}^{∞} x_{n} = 0\} a N = \{x = (x_{n}) ∈ ℓ_{2} | ∑_{n=1}^{∞} \frac{x_{n}}{n} = 0\}.

a) Ukažte, že M i N jsou lineární podprostory ℓ_{2}.

b) Ukažte, že M^{⊥} = {0}. Určete N^{⊥}.

c) Je M uzavřený? A co N?

4. (25 bodů) Existuje reálná symetrická matice A, pro níž platí a) e^{A} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}), b) e^{A} = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})? Pokud ano, určete ji.