I. Zjistěte, zda (V, ⊕, ⊙) je vektorový prostor nad K, jestliže

1. K = R, V je množina všech reálných funkcí definovaných na R,

a) (f ⊕ g)(x) = f(x) + g(x), (λ ⊙ g)(x) = λg(x) pro f, g ∈ V, λ ∈ R, x ∈ R.

b) (f ⊕ g)(x) = f(x)g(x), (λ ⊙ g)(x) = λg(x) pro f, g ∈ V, λ ∈ R, x ∈ R.

2. K = R, V = (0, +∞), u ⊕ v = uv, λ ⊙ v = λv. 3. K = R, V = C, u ⊕ v = u + v, λ ⊙ v = λv.

4. K = C, V = R, u ⊕ v = u + v, λ ⊙ v = |λ|v.

5. K = R, V = R^{2}, u ⊕ v = u + v, λ ⊙ [u_{1}, u_{2}] = [λ^{3}u_{1}, λu_{2}].

6. K = C, V = C^{2}, [u_{1}, u_{2}] ⊕ [v_{1}, v_{2}] = [u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}], a) λ ⊙ [u_{1}, u_{2}] = [λ̄u_{1}, λ̄u_{2}]; b) λ ⊙ [u_{1}, u_{2}] = [λu_{1}, λ̄u_{2}]. 7. K = C, V = R^{2}, [u_{1}, u_{2}] ⊕ [v_{1}, v_{2}] = [u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}], λ ⊙ [u_{1}, u_{2}] = [u_{1} Reλ − u_{2} Imλ, u_{2} Reλ + u_{1} Imλ].

Zjistěte, zda je U vektorovým podprostorem V, jestliže

8. V = R^{3}; a) U = {x ∈ R^{3} : x_{1}−x_{2} = 0}, b) U = {x ∈ R^{3} : x_{1} = x_{2}^{2}}, c) U = {x ∈ R^{3} : x_{1}+x_{3} = 1}. 9. V = R^{2}, U = {x ∈ R^{2} : x_{1} ≥ 0}. 10. V = C(⟨0, 1⟩); a) U = {f ∈ V : f(0) + f(1) = f(1/2)}, b) U = {f ∈ V : f(0) = (f(1))^{2}}, c) U = {f ∈ V : ∀x ∈ [0, 1]: |f(x)| ≤ 1}, d) U = {f ∈ V : ∫_{0}^{1} f(x) dx = 0}, e) U = {f ∈ V : ∫_{0}^{1/2} f(x) dx = 17}, f) U = {f ∈ V : ∫_{0}^{1}(f(x))^{3} dx = 0}, g) U = {f ∈ V : ∫_{1/2}^{1}(f(x))^{2} dx = 0}.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) ANO, b) NE (neplatí např. (iv)). 2. NE (⊙ není operace).

3. ANO 4. NE (neplatí (vi)). 5. NE (neplatí (vi)). 6. a) ANO, b) ANO. 7. ANO.

8. a) ANO, b) NE ([1, 1, 0] ∈ U, 2 · [1, 1, 0] ∉ U), c) NE ([0, 0, 0] ∉ U). 9. NE ([1, 0] ∈ U, −[1, 0] ∉ U). 10. a) ANO, b) NE (1 ∈ U, 2 · 1 ∉ U), c) NE (1 ∈ U, 2 · 1 ∉ U), d) ANO, e) NE (0 ∉ U), f) NE (necht’ f(x) = \frac{1}{2} − x a g(x) = |2x − 1| − \frac{1}{2}; pak f, g ∈ U, f + g ∉ U), g) ANO (U = \{f ∈ V : ∀x ∈ ⟨\frac{1}{2}, 1⟩: f(x) = 0\}).

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

II. Určete dimenzi a nalezněte nějakou bázi vektorového prostoru V, kde 1. V = lin_{R} {[1, 1, 1], [1, 2, 2], [10, 11, 11]} ⊂ R^{3}.

2. V = lin_{R} {[1, 1, 1, 2, 2], [−1, −2, −2, −2, 2], [19, 1, 1, 1, 1], [−1, −3, −3, −2, 6]} ⊂ R^{5}.

3. V = lin_{R} {x + 7, x^{2} − x − 1, x^{2} + 3, x − 5} ⊂ C(⟨0, 1⟩).

4. V = {sinx, cosx, sin2x, cos2x} ⊂ C(⟨0, π⟩). 5. V = C^{2} jako vektorový prostor nad R.

6. V = M(2 × 3). 7. V = {𝔸 ∈ M(3 × 3): 𝔸^{T} = 𝔸}.

8. V = {[x_{1}, x_{2}, x_{3}] ∈ R^{3} : x_{1} + x_{2} − x_{3} = 0}.

9. V = {[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ R^{4} : x_{1} + x_{3} − x_{4} = 0, x_{2} + x_{4} = 0, x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0}.

10. V = \{[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ R^{4} : ( \begin{matrix}1 & −2 & 2 & 3 \\ 2 & 8 & −1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = o\}.

11. V = {f ∈ C(R): f má všude pátou derivaci a f^{(5)} = 0 na R}.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. dimV = 2, báze je například {[1, 1, 1], [0, 1, 1]} (nebo též {[1, 1, 1], [1, 2, 2]}).

2. dimV = 3, báze je například {[1, 1, 1, 2, 2], [0, −1, −1, 0, 4], [0, 0, 0, 37, 109]}. 3. dimV = 3, báze je například {1, x, x^{2}}. 4. dimV = 4, množina ze zadání je báze. 5. dimV = 4, báze je například {[1, 0], [i, 0], [0, 1], [0, i]}. 6. dimV = 6, bázi tvoří například šestice matic, které mají na jednom místě 1 a na ostatních 0. 7. dimV = 6, bázi tvoří například

\{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )\}. 8. dimV = 2, báze je například

{[1, 0, 1], [0, 1, 1]}. 9. dimV = 1, báze je například {[0, −1, 1, 1]}. 10. dimV = 0, báze je ∅ (V = {[0, 0, 0, 0]}). 11. dimV = 5, báze je například {1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}}.

III. Je L: U → V lineární zobrazení? Pokud ano, jak vypadá Ker(L) a Im(L)?

1. U = R^{3}, V = R^{4}; a) L(u, v, w) = [u + w, w − v + 7u, u, u], b) L(u, v, w) = [u^{2}, v, 0, 0],

c) L(u, v, w) = [0, 0, 0, 0], d) L(u, v, w) = [u, v − 1, 4w, u + w], e) L(u, v, w) = [u, v, w, w],

f) L(u, v, w) = [u + v, u − v, w, 10u].

2. U = C(R), V = C(R); a) L(f)(x) = f(x + 1) − f(x), b) L(f)(x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt,

c) L(f)(x) = f(x^{2}), d) L(f)(x) = ∫_{x−1}^{x+1} f(t) dt.

3. U = C^{1}(R), V = C(R); a) L(f)(x) = f′(x), b) L(f)(x) = f(x)−f′(x), c) L(f)(x) = ∫_{0}^{x} f′(t) dt.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) ANO, Ker(L) = {[0, 0, 0]}, Im(L) = lin_{R} {[1, 7, 1, 1], [0, −1, 0, 0], [1, 1, 0, 0]}; b) NE; c) ANO, Ker(L) = R^{3}, Im(L) = {[0, 0, 0, 0]};

d) NE; e) ANO, Ker(L) = {[0, 0, 0]}, Im(L) = lin_{R} {[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1]}; f) ANO, Ker(L) = {[0, 0, 0]}, Im(L) = lin_{R} {[1, 1, 0, 10], [1, −1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]}. 1. a) ANO, Ker(L) tvoří 1-periodické funkce, Im(L) = C(R) (mírně obtížnější); b) ANO, Ker(L) = {0}, Im(L) = {f ∈ C^{1}(R): f(0) = 0}; c) ANO, Ker(L) = {f ∈ C(R): f ↾ ⟨0, +∞) = 0}, Im(L) tvoří sudé funkce; d) ANO, Ker(L) tvoří 2-periodické funkce splňující navíc ∫_{−1}^{1} f(x) dx = 0, Im(L) = C^{1}(R) (obojí mírně obtížnější). 2. a) ANO, Ker(L) tvoří konstantní funkce, Im(L) = C(R); b) ANO, Ker(L) = lin_{R} {e^{x}} = {ae^{x}: a ∈ R}, Im(L) = C(R); c) ANO, Ker(L) tvoří konstantní funkce, Im(L) = {f ∈ C^{1}(R): f(0) = 0}.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

IV. Bilineární formy

1. Zjistěte, zda B je bilineární forma, pokud ano, napište reprezentující matici a rozhodněte, zda B je symetrická. a) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1} + y_{2}; b) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = (x_{1} + y_{2})(x_{2} + y_{1});

c) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}; d) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2};

e) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}; f) B([x_{1}, x_{2}], [y_{1}, y_{2}]) = (x_{1} − x_{2})(y_{1} + 9y_{2}).

2. Zjistěte, zda následující matice jsou pozitivně definitní, negativně definitní atd.

a) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ); b) ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ); c) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ); d) ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ); e) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 5 & 1 \end{matrix} ); f) ( \begin{matrix}−10 & 1 & 1 \\ 1 & −10 & 2 \\ 1 & 2 & −1 \end{matrix} );

g) ( \begin{matrix}10 & 1 & 3 \\ 1 & 10 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} ); h) ( \begin{matrix}3 & 1 & 3 \\ 1 & 10 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix} ); i) ( \begin{matrix}−3 & −1 & 3 \\ −1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & −3 \end{matrix} ); j) ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 & −1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ −1 & 2 & 1 & 4 \end{matrix} ).

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a), b), d), e) NE; c) ANO, ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), je symetrická; f) ANO,

( \begin{matrix}1 & 9 \\ −1 & −9 \end{matrix}), není symetrická. 2. a) ID, b) PD, c),d) PSD, ne PD; e) ID, f) ND, g) PD, h)

PSD, ne PD, i),j) ID.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

V. Najděte vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory pro matice

1. ( \begin{matrix}3 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) 2. ( \begin{matrix}3 & 6 \\ 4 & −2 \end{matrix}) 3. ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix}) 4. ( \begin{matrix}1 & 2 \\ −2 & 5 \end{matrix}) 5. ( \begin{matrix}−2 & 1 & 2 \\ −4 & 3 & 2 \\ −5 & 1 & 5 \end{matrix} )

6. ( \begin{matrix}5 & 0 & −2 \\ 2 & 3 & −2 \\ 4 & 0 & −1 \end{matrix} ) 7. ( \begin{matrix}8 & −1 & −3 \\ 8 & 1 & −4 \\ 7 & −1 & −2 \end{matrix} ) 8. ( \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ 6 & −2 & −2 \\ 3 & −1 & −1 \end{matrix} ) 9. ( \begin{matrix}2 & 0 & −1 \\ 5 & −1 & −2 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

10. ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ −3 & 2 & 2 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix} ) 11. ( \begin{matrix}−23 & 21 & 3 & −17 \\ −40 & 35 & 4 & −31 \\ 58 & −50 & −5 & 47 \\ −8 & 6 & 0 & −7 \end{matrix} )

Výsledky a návody. (ve formátu: (vlastní číslo, násobnost, množina vlastních vektorů)) 1. (1, 1, {t · [1, 2]: t ∈ C \ {0}}), (2, 1, {t · [1, 1]: t ∈ C \ {0}}). 2. (6, 1, {t · [2, 1]: t ∈ C \ {0}}), (−5, 1, {t·[3, −4]: t ∈ C\{0}}). 3. (1+i, 1, {t·[1, i]: t ∈ C\{0}}), (1−i, 1, {t·[1, −i]: t ∈ C\{0}}).

4. (3, 2, {t·[1, 1]: t ∈ C\{0}}). 5. (1, 1, {t·[1, 1, 1]: t ∈ C\{0}}), (2, 1, {t·[1, 2, 1]: t ∈ C\{0}}), (3, 1, {t · [1, 1, 2]: t ∈ C \ {0}}). 6. (1, 1, {t · [1, 1, 2]: t ∈ C \ {0}}), (3, 2, {t · [1, 0, 1] + s · [0, 1, 0]: [s, t] ∈ C^{2} \ {[0, 0]}}). 7. (1, 1, {t · [1, 1, 2]: t ∈ C \ {0}}), (3, 2, {t · [1, 2, 1]: t ∈ C \ {0}}).

8. (0, 3, {t · [1, 3, 0] + s · [0, −1, 1]: [s, t] ∈ C^{2} \ {[0, 0]}}). 9. (0, 3, {t · [1, 1, 2]: t ∈ C \ {0}}). 10. (1, 3, {t · [1, 1, 1]: t ∈ C \ {0}}). 11. (i, 2, {t · [3, 4, −5 + i, 0] + s · [−7 − i, 0, −8 − 10i, 8]: [s, t] ∈ C^{2} \ {[0, 0]}}), (−i, 2, {t · [3, 4, −5 − i, 0] + s · [−7 + i, 0, −8 + 10i, 8]: [s, t] ∈ C^{2} \ {[0, 0]}}).

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

VI. Rozvoj funkce v bodě

1. Najděte hlavní část rozvoje k-tého řádu v bodě a pro funkce f + g, f − g, fg, f/g, g/f (pokud existují), jsou li zadány hlavní části rozvoje funkcí f a g:

a) k = 1, a = 0, f: x, g: 1 + x; b) k = 1, a = 1, f: 1 − 2(x − 1), g: 1 + (x − 1); c) k = 2, a = 3, f: 7 + (x − 3) + \frac{1}{2}(x − 3)^{2}, g: 6(x − 3); d) k = 3, a = −2, f: 1 + (x + 2)^{3}, g: (x + 2) − \frac{1}{2}(x + 2)^{2};

2. Najděte hlavní část rozvoje k-tého řádu funkce f ∘ g v bodě a, je-li zadána hlavní část rozvoje funkce g v bodě a a funkce f v bodě g(a). a) k = 1, f, g: 1 + (x − 1); b) k = 1, f: 2 + (x − 7), g: 7+(x−1); c) k = 2, f: (x−6)+3(x−6)^{2}, g: 6+x+x^{2}; d) k = 3, f: (x−2), g: 2+(x−3)^{2}+(x−3)^{3};

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Výsledky a návody. 1. a) f + g: 1 + 2x; f − g: −1; fg: x; f/g: x. b) f + g: 2 − (x − 1); f − g: −3(x − 1); fg: 1 − (x − 1); f/g: 1 − 3(x − 1); g/f: 1 + 3(x − 1). c) f + g: 7 + 7(x − 3)^{2} + \frac{1}{2}(x − 3)^{2}; f − g: 7 − 5(x − 3)^{2} + \frac{1}{2}(x − 3)^{2}; fg: 42(x − 3) + 6(x − 3)^{2}; g/f: \frac{6}{7}(x − 3) − \frac{6}{49} (x − 3)^{2}. d) f + g: 1 + (x + 2) − \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + (x + 2)^{3}; f − g: 1 − (x + 2) + \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + (x + 2)^{3}; fg: (x + 2) − \frac{1}{2}(x + 2)^{2}; g/f: (x + 2) − \frac{1}{2}(x + 2)^{2}. 2. a) 1 + (x − 1); b) 2 + (x − 1); c) 4x^{2}; d) (x − 3)^{2} + (x − 3)^{3}.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

VII. Najděte Taylorův polynom k-tého řádu v bodě 0 pro funkce

1. tgx, k = 4. 2. cos(sinx), k = 5. 3. sin(sinx), k = 6. 4. sin(1 − cosx), k = 3. 5. arctgx, k ∈ N. 6. arcsinx, k ∈ N.

Spočtěte limity

7. lim_{x→0} ^{\frac{cos x−e^{\frac{−x^{2}}{2}}}{x^{4}}} 8. lim_{x→0} \frac{e^{x} sin x−x(1+x)}{x^{3}} 9. lim_{x→+∞} (\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} − \sqrt[6]{x^{6} − x^{5}})

10. lim_{x→+∞} x^{\frac{3}{2}} (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x − 1} − 2\sqrt{x}) 11. lim_{x→0} \frac{a^{x}+a^{−x}−2}{x^{2}} (a > 0) 12. lim_{x→0} (\frac{1}{x} − \frac{1}{sin x})

13. lim_{x→+∞} (x − x^{2} ln(1 + \frac{1}{x}) ) 14. lim_{x→0} \frac{1}{x} (\frac{1}{x} − \frac{cos x}{sin x}) 15. lim_{x→+∞} ((x^{3} − x^{2} + \frac{x}{2}) e^{\frac{1}{x}} − \sqrt{x^{6} + 1} )

16. Najděte n ∈ ℕ, aby limita a) lim_{x→0} \frac{tg(sin x)−sin(tg x)}{x^{n}} , b) lim_{x→0} \frac{(1+x)^{x}−1}{x^{n}} c) lim_{x→0} \frac{cos x−cos(tg x)}{x^{n}},

d) lim_{x→0} ^{\frac{e−(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x^{n}}} byla konečná a různá od 0, a spočtěte tuto limitu.

17. Najděte a, b ∈ ℝ, aby lim_{x→0} \frac{x−(a+b cos x) sin x}{x^{4}} = 0.

18. Najděte a, b ∈ ℝ, aby lim_{x→0} \frac{x−a sin x−b tg x}{x^{4}} = 0 a spočtěte lim_{x→0} \frac{x−a sin x−b tg x}{x^{5}}.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

VIII. Taylorův polynom – aplikace Lagrangeova tvaru zbytku

1. Spočtěte e^{2} s chybou menší než 10^{−4}. 2. Spočtěte log1.1 s chybou menší než 10^{−4}. 3. Spočtěte \sqrt{5} s chybou menší než 10^{−3}. 4. Spočtěte \sqrt[3]{1.01} s chybou menší než 10^{−8}. 5. Kolik členů Taylorova polynomu funkce cos v 0 stačí vzít, aby pro každé x ∈ (−0.5, 0.5) byla chyba menší než 10^{−3}?

IX. Nalezněte lokální extrémy následujících funkcí v uvedených množinách:

1. f (x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{2} − 2xy − y^{2}; M = ℝ^{2}

2. f (x, y) = xy + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}; M = \{(x, y); x > 0; y > 0\}

3. z (x, y) = x^{2}y^{3} (6 − x − y); M = {(x, y); x > 0; y > 0} *4. z (x, y) = x^{2}y^{3} (6 − x − y); M = ℝ^{2}

5. f (x, y, z) = x + \frac{y^{2}}{4x} + \frac{z^{2}}{y} + \frac{2}{z}, M = \{(x, y, z); x > 0, y > 0, z > 0\}.

6. f (x, y, z) = x^{4} − y^{4} − x^{2} − 2xy − y^{2}, M = ℝ^{2}

7. Dokažte, že funkce f (x, y) = (1 + e^{y}) cosx−ye^{y} nabývá lokálního maxima v nekonečně mnoha bodech, avšak lokálního minima ani v jednom bodě.

=== === === === === === === === === === === === === === === ===

X. Najděte všechna řešení diferenčních rovnic (s počátečními podmínkami)

1. y(n + 2) + 4y(n + 1) + 4y(n) = 0 2. y(n + 2) − 3y(n + 1) + 2y(n) = 0

3. y(n + 2) − 6y(n + 1) + 13y(n) = 0, y(1) = 0 4. y(n + 2) − 2y(n + 1) − 3y(n) = 0, y(1) = 2, y(2) = 1 5. y(n + 2) − y(n + 1) − y(n) = 0, y(1) = y(2) = 1 6. y(n + 4) + 6y(n + 2) + 9y(n) = 0

7. y(n + 2) − 2y(n + 1) + 2y(n) = cosn 8. y(n + 3) − y(n + 2) − 2y(n + 1) + 2y(n) = n + 2^{n}

9. y(n + 2) + 3y(n + 1) + 2y(n) = sinn + sin2n 10. 8y(n + 3) + y(n) = 3n + 1/2^{n}

11. y(n + 2) − 3y(n + 1) + 2y(n) = n^{2}, y(1) = 3, y(2) = 2. 12. y(n + 2) − y(n) = 17, y(1) = y(2) = 0.