Písemná zkouška z Matematické analýzy II pro informatiky (V)

LS 2003-2004, kruhy 31–36 a 42–46

Příklad 1 : Spočtěte primitivní funkci

∫ \frac{sin^{2} x}{sinx + cosx + 2} dx

na maximálních intervalech, kde existuje. (17 bodů) Příklad 2 : Na kterých intervalech konverguje stejnoměrně posloupnost funkcí

f_{n}(x) = n arctg \frac{x}{n} ?  (13 bodů)

Příklad 3 : Spočtěte ∫_{0}^{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{n sinnx}{17^{n}} dx.

(13 bodů)

Příklad 4 : Rozviňte funkci

f(x) = x^{2} − x, x ∈ (0, π)

v sinovou řadu. Načrtněte graf součtu této řady. (12+5 bodů) Příklad 5 : (Každá z otázek (a) až (e) za 1 bod.)

(a) Uveďte příklad funkce f, pro kterou \underline{∫{1 \atop 0}}f = 5 a \overline{∫_{0}^{1} f} = 15.

(b) Nechť řada funkcí ∑_{n=1}^{∞} u_{n} konverguje bodově na ⟨0, 1⟩ a stejnoměrně na

(0, 1). Musí konvergovat stejnoměrně na ⟨0, 1⟩? Pokud ne, uveďte příklad.

(c) Uveďte příklad mocninné řady, která má poloměr konvergence 2.

(d) Nechť (M, ρ) je metrický prostor, a ∈ M a r > 0. Musí platit \{x ∈ M: ρ(x, a) ≤ r\} = \overline{\{x ∈ M: ρ(x, a) < r\}}? Pokud ne, uveďte příklad.

(e) Uveďte příklad omezené podmnožiny R, která není kompaktní.