Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 29.9.2025
Úvodní informace - o čem a k čemu je funkcionální analýza, předpokládané znalosti a souvislosti s dalšími
oblastmi matematiky. Připomenutí základních definic z teorie míry, znaménkové a komplexní míry. Zornovo lemma a jedna jeho jednoduchá aplikace. Začátek Kapitoly I (Banachovy a Hilbertovy
prostory) a oddílu I.1 (Základní značení, pojmy a příklady) - do definice Banachova prostoru včetně.
Přednáška č. 2 - 1.10.2025
Pokračování oddílu I.1: Příklady 2 a 3, Větička 4, Příklady 5(1),(2), Větička 6 a Příklad 7.
Cvičení č. 1 - 2.10.2025
Úvodní informace o zápočtech. Příklady 5(3),(4), prostor c (příklad 6 ke Kapitole I), Větička 8 s důkazem, Příklad 9(1).
Plán na příští cvičení: Mj. Příklady 2 (b),(e),(f),(g),(h),(i) ze sady I.
Přednáška č. 3 - 6.10.2025
Dokončení oddílu I.1 - Příklad 10 (důkaz, že pro p∈[1,∞) jde o normovaný lineární prostor, Hölderova nerovnost
a alternativní vyjádření normy; podrobný důkaz včetně vynechaných částí najdete u textů k přednášce) a dále od Větičky 11 do konce oddílu Dále oddíl I.2 (Spojitá lineární zobrazení) až po bod (a) Větičky 15.
Přednáška č. 4 - 8.10.2025
Dokončení oddílu I.2 - zbytek Větičky 15 a pak dále do konce oddílu. Bod (a) z Věty 19
zatím bez důkazu (bude později).
Cvičení č. 2 - 9.10.2025
Cvičení ze sady I - příklady 2 a,c,e,f,g (příklady e,f počítali studenti). Prostor C1([0,1]) (Příkad I.5(5)) a ekvivalentní norma
na něm.
Plán na příští cvičení: Mj. Příklady 2 (h),(i),(n),(o),(q),(s),(t) ze sady I.
Přednáška č. 5 - 13.10.2025
Oddíl I.3 (Prostory se skalárním součinem a Hilbertovy prostory) - celý. Závěrečná poznámka nebyla dokázána, důkaz je k dispozici
u textů k přednášce.
Přednáška č. 6 - 15.10.2025
Oddíl I.4 (řady v normovaných prostorech) - od začátku oddílu až do Tvrzení I.32(a) včetně. Přitom důkaz
Poznámky (1) za definicí různých typů konvergence byl pouze naznačen, podrobný důkaz
lze nalézt u textů k přednáškám.
Cvičení č. 3 - 16.10.2025
Cvičení ze sady I - příklady 2(i,o,r,t) a 3(a,b,k). Příklady 2(o,r) počítali studenti.
S příklady 3(a,b) byly řešeny i otázky z Příkladu 4. Z příkladu 3(k) byla jen první část.
Plán na příští cvičení: Mj. Příklady 3 (f,g,h,l,m,v,w) včetně otázek z Příkladu 4 (ze sady I).
Přednáška č. 7 - 20.10.2025
Dokončení oddílu I.4 - Tvrzení 32(b,c) a závěrečná poznámka. Začátek oddílu I.5
(Struktura Hilbertových prostorů) do Věty 37(a) včetně části důkazu (byla dokázána linearita P).
Přednáška č. 8 - 22.10.2025
Pokračování oddílu I.5 - od Věty 37 do Důsledku 41 včetně.
Cvičení č. 4 - 23.10.2025
Cvičení ze sady I - příklady 3(f,h,m,p) včetně příslušných otázek z příkladu 4. Tyto čtyři příklady počítali studenti.
Stručná informace o zobecnění těchto příkladů - operátory T:ℓp→ℓp definované předpisem
T((xn))=(αnxn) a operátory T:C(K)→C(L) definované předpisem Tf=f◦φ.
Plán na příští cvičení: Mj. příklady ze Sady II.
Přednáška č. 9 - 27.10.2025
Dokončení oddílu I.5 (od poznámky za Důsledkem 41 do konce oddílu).
Oddíl I.6 (Normované prostory konečné a nekonečné dimenze) - celý. Tvrzení 49 bylo jen stručně okomentováno, důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce. Dále začátek oddílu I.7 (Reálné a komplexní normované prostory) - úvodní definice a Tvrzení 50(a-d).
Přednáška č. 10 - 29.10.2025
Dokončení oddílu I.7 - Tvrzení 50(e-f), ke zbytku oddílu jen stručné komentáře (podrobnosti viz texty k přednášce).
Začátek Kapitoly II (Spojité lineární funkcionály a dualita), konkrétně oddílu II.1 (Hahn-Banachova věta a její aplikace)
- úvodní definice a poznámky - sublineární funkcionál, pseudonorma, pohlcující množina, Minkowského funkcionál, Lemma 1 a Lemma 3.
Cvičení č. 5 - 30.10.2025
Cvičení ze sady II - příklady 1,4,2,6. Příklady 2 a 6 počítali studenti.
Plán na příští cvičení: Mj. ještě příklady ze sady I, a to příklady 3(v-z) včetně příslušných otázek z příkladu 4.
Přednáška č. 11 - 3.11.2025
Pokračování oddílu II.1 (Věta 2, pak od Větičky 4 do Důsledku 10).
Přednáška č. 12 - 5.11.2025
Dokončení oddílu II.1 - Věta 11. Dále oddíl II.2 (Vnoření do druhého duálu a reflexivita) - téměř celý, s výjimkou závěrečných poznámek.
Cvičení č. 6 - 6.11.2025
Cvičení ze Sady I - příklady 3(w,y,z,v) včetně příslušných otázek z příkladu 4. Tyto příklady počítali studenti.
Dále izometrie prostorů (R2,||.||1) a (R2,||.||∞).
Plán na příští cvičení: Mj. duální operátory, příklad 1 ze sady III.
Přednáška č. 13 - 10.11.2025
Dokončení oddílu II.2 - závěrečné poznámky. Začátek oddílu II.3 (reprezentace duálů klasických prostorů) -
do Důsledku 18 včetně.
Cvičení č. 7 - 13.11.2025
Definice duálního operátoru a vysvětlení, co znamená vyjádřit ho pomocí reprezentace duálu
Cvičení ze sady III - příklady 1(e,c,d,g,a,i,j). Příklady (g,a,i,j) počítali studenti.
Plán na příští cvičení: Mj. další cvičení ze sady III - příklady 1(k-x).
Přednáška č. 14 - 19.11. 2025
Dokončení oddílu II.3 - od druhé části Důsledku 18 do konce oddílu. Přitom k
Větě 19 bylo uvedeno pouze základní schéma důkazu; k Větě 21 byl ukázán začátek důkazu (důkaz spojitosti nezáporného funkcionálu a jeho norma)
a definice reprezentující míry. Lemma 22 bylo jen stručně zmíněno a Věta 23 nebyla dokázána. Podrobné důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce.
Začátek oddílu II.4 (slabá a slabá* konvergence)
- do Tvrzení 24 včetně.
Cvičení č. 8 - 20.11.2025
Cvičení ze sady III - příklady 1(l,k,n,o,v,x,u). Příklady (k,n) počílali studenti.
V rámci příkladů stručná informace o obrazu míry a o míře s hustotou vůči jiné míře.
Plán na příští cvičení: Mj. další cvičení ze sady III - příklady 1(q-t).
