Ondřej Kalenda

Úvod do funkcionální analýzy

Obecné informace k organizaci kurzu

Předpokládané znalosti a prerekvizity

Souvislosti s dalšími předměty

Doporučená literatura

Texty k přednáškám

Informace ke cvičením

Podmínky pro získání zápočtu

Informace ke zkouškám (Předběžná verze)

Program jednotlivých přednášek a cvičení

Poznámky a tipy k písemkám

Texty k přednáškám z Úvodu do funkcionální analýzy

Zimní semestr 2025/2026

Úvod k Úvodu do funkcionální analýzy

Apendix - stručné připomenutí některých potřebných partií

A1. Množiny první a druhé kategorie, Baireova věta A2. Něco málo z teorie míry          Poznámky a příklady k obrazu míry A3. Částečně uspořádané množiny a Zornovo lemma

I. Banachovy a Hilbertovy prostory

I.1 Základní značení, pojmy a příklady          Důkaz Větičky 6 a Příkladu 7          Důkaz Větičky 8 a Příkladu 9(1)          Důkaz Příkladu 9(2)          K Příkladu 10 (trojúhelníková nerovnost, Hölderova nerovnost)          K Příkladu 10 (důkaz úplnosti s využitím Tvrzení 29) I.2 Spojitá lineární zobrazení          Důkaz Věty 16          Důkaz Tvrzení 18 a bodu (b) z Věty 19 I.3 Prostory se skalárním součinem          Důkaz závěrečné poznámky I.4 Řady v normovaných lineárních prostorech          Součet bezpodmínečně konvergentní řady nezávisí na přerovnání          Důkaz Tvrzení 30          Důkaz Tvrzení 32(a) I.5 Struktura Hilbertových prostorů          Důkaz Věty 34 a Tvrzení 35          Důkaz Věty 37          Důkaz Věty 38, Věty 39 a důsledků I.6 Prostory konečné a nekonečné dimenze          Důkaz Věty 44 a jejích důsledků          Důkaz Tvrzení 49 I.7 Reálné a komplexní normované lineární prostory          Důkaz netriviální implikace Tvrzení 51          Komplexifikace vektorového prostoru          Důkaz Tvrzení 53(a-d)          Příklad k Tvrzení 53(e) Příklady pro porozumění látce

II. Spojité lineární funkcionály a dualita

II.1 Hahn-Banachova věta a její aplikace          Důkaz Lemmatu 1 (včetně poznámek k definicím)          Důkaz Lemmatu 3, Věty 2 a důsledků          Důkaz Věty 11 II.2 Vnoření do druhého duálu a reflexivita          Důkaz Věty 13 II.3 Reprezentace duálů klasických prostorů          Důkaz Věty 15 a Důsledku 16          Důkaz Věty 17 a Důsledku 18          Doplňující poznámky k Větě 17          Důkaz Věty 19          Doplňující poznámky k Větě 19          Důkaz Lemmatu 22          Důkaz Věty 21          Důkaz Věty 23 II.4 Slabá a slabá* konvergence Příklady pro porozumění látce

III. Omezené lineární operátory

III.1 Kvocienty a faktorizace omezených operátorů III.2 Věty o otevřeném zobrazení a o uzavřeném grafu III.3 Projekce a topologické doplňky III.4 Duální a adjungované operátory III.5 Kompaktní operátory III.6 Spektrum omezeného lineárního operátoru III.7 Spektrální teorie kompaktních operátorů Příklady pro porozumění látce

IV. Fourierova transformace

IV.1 Konvoluce funkcí na Rd IV.2 Aproximace hladkými funkcemi IV.3 Fourierova transformace a Schwartzův prostor Příklady pro porozumění látce